指数函数
逍遥学能 2014-01-25 10:13
第十六课时 指数函数（1）
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学习要求
1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；
2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。
3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．
4．提高观察、运用能力．
自学评价
1．形如 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，
值域是 ．
2. 下列函数是为指数函数有 ② ③ ⑤ ．
① ②
③ （ 且 ）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ．
3.指数函数 恒经过点 ．
4.当 时，函数 单调性
为 在 上是增函数 ；
当 时，函数
单调性是在 上是减函数 ．
【精典范例】
例1：比较大小：
（1） ；（2） ；（3） ．
分析：利用指数函数的单调性．
【解】（1）考虑指数函数 ， ，
在 上是增函数，
∴ ．
（2）考虑指数函数 ， ，
在 上是减函数，
∴ ．
（3） 在 上是增函数， 在 上是减函数，
∴ ，
∴ ．
点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较．
例2：
（1）已知 ，求实数 的取值范围；（2）已知 ，求实数 的取值范围.
分析：利用指数函数的单调性.
【解】（1） 在 上是增函数，
由 得 ，即实数 的取值范围是 .
（2） 在 上是减函数，
又 ，
由 得 ，即实数 的取值范围是 .
点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.
例3：设 是实数，
，
（1）求 的值，使函数 为奇函数
（2）试证明：对于任意 在 为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
（1）∵ ，
由 是奇函数，∴
即 ，∴ .
（2）证明：设 ，则
，
由于指数函数 在 上是增函数，且 ，所以 即 ，
又由 ，得 ， ，
所以， 即 ．
因为此结论与 取值无关，所以对于 取任意实数， 在 为增函数.
点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.
追踪训练一
1.若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
2.已知函数 在区间 上的最大值与最小值的差是1，求实数 的值；
解：当 时，函数 在区间 上是增函数， ，∵ ，∴ ；
当 时，函数 在区间 上是减函数， ，∵ ，
∴ ；
综上： 或 ．
3. 解不等式：(1) (2)
析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围．
解：(1)∵
∴
又∵ 在定义域上是增函数
∴原不等式等价于
解之得
∴原不等式的解集为
(2) 可以整理为
∵ ， ∴ 即 ，
又∵ 在定义域上是减函数，∴
故原不等式的解集为 ．
【选修延伸】
一、与指数函数有关的复合函数
例4: 求函数 的定义域、值域、单调区间．
分析：原函数由函数 与 复合而成，求解时要统筹考虑．
【解】设 ，则 ，由于它们的定义域都是 ，所以函数 的定义域为 ．
因为 ，
所以 ，又 ，
函数 的值域为 ．
函数 在 是增函数，而 在 上是减函数，
所以设 ，则 ，
从而 ，即 ，
函数 在 是增函数，
同理：函数 在 是减函数，函数 的增区间 ，
减区间是 ．
点评:形如 的定义域与 的定义域相同；求值域时要先确定 的值域，再根据指数函数的性质确定 的值域；
当 时， 与 的单调性相同，
当 时， 与 的单调性相反．
思维点拔：
（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．
追踪训练二
1．求下列函数的定义域、值域：
(1) (2)
解：（1） ∴
原函数的定义域是 ，
令 则
∴ 得 ，
所以，原函数的值域是 ．
（2） ∴
原函数的定义域是 ，
令 则 ，
在 是增函数 ∴ ，
所以，原函数的值域是 ．
第16课 指数函数（1）
分层训练
1．函数 是指数函数，则 的取值范围是（ ）
或
2．函数 的定义域为（ ）
3． 若 ，则 的范围为 ．
4． 已知函数 满足：对任意的 ，都有 ，且有 ，则满足上述条件的一个函数是 ．
5．将三个数 按从小到大的顺序排列是 ．
6．（1）函数 的定义域是 ；值域是 ；
（2）函数 的定义域是 ；值域是 ．
7．已知
，确定 的范围，使得 ．
拓展延伸
8．实数 满足 ，则 ．
9．求函数 ， 的最大值和最小值．
10．若函数 为奇函数，
（1）确定 的值；（2）讨论函数的单调性．
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