2013年高考数学文科试题I卷

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2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛xx=n2，n∈A｝，则A∩B=( )
（A）｛0｝（B）｛－1，,0｝（C）{0，1}（D）｛－1，,0，1}
（2） 1＋2i(1－i)2＝ ()
（A）－1－12i（B）－1＋12i（C）1＋12i（D）1－12i
（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）
（A）12（B）13 （C）14 （D）16
（4）已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为（）
（A）y=±14x （B）y=±13x（C）y=±12x （D）y=±x
（5）已知命题p：?x∈R,2x＞＜3x；命题q：?x∈R，x3=1－x2，则下列命题中为真命题的是：（）
（A） p∧q （B）?p∧q （C）p∧?q （D）?p∧?q
（6）设首项为1，公比为23的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）
（A）Sn=2an－1 （B）Sn =3an－2（C）Sn=4－3an （D）Sn =3－2an
（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于 ()
（A）[－3,4]
（B）[－5,2]
（C）[－4,3]
（D）[－2,5]
（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=42x的焦点，P为C上一点，若PF=42，则△POF的面积为()
（A）2（B）22（C）23（D）4
（9）函数f(x)=(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为( )
A B C D
（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=( )
（A）10（B）9（C）8（D）5
（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为
（A）18+8π （B）8+8π
（C）16+16π （D）8+16π
（12）已知函数f(x)＝－x2＋2x　 x≤0ln(x＋1)　 x＞0，若 f(x)≥ax，则a的取值范围是()
（A）（－∞，0] （B）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．题：本大题共四小题，每小题5分。
（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b?c=0，则t=_____.
(14)设x，y满足约束条件1≤x≤3－1≤x－y≤0，则z=2x－y的最大值为______.
（15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为_______.
(16)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列{1a2n－1a2n＋1}的前n项和
18（本小题满分共12分）
为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积
（20）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点（0，f(0)）处切线方程为y＝4x+4
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值
(21)(本小题满分12分)
已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求AB.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为x=4+5costy=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝2x－1＋2x＋a，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.


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