根与系数关系

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作课类别课题22.2.4一元二次方程的根与系数关系课型新授
媒体多媒体
教 学 目 标知识
技能1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程
方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感
态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
重点一元二次方程的根与系数关系
教学难点对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .
○2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .
○3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
○4两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
○5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ x- =0
○6.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，○6中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：○1 ； ○2 ○3 ； ○4 ；○5
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
○1不解方程，判断两个数数否是某一个一元二次方程的两根；
○2已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
○3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
○4判断两个根的符号；
○5不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设 计
复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习.
补充作业：
已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是 ，
求 的值.

教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题

学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论

学生独立解决，并交流

先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法

学生尝试归纳，师生总结

学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲

通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫

让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性

加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力

通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

进一步加强对所学知识的理解和掌握
通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
板 书 设 计
课题

二次项系数是1的方程根与系数的关系二次项系数不是1的方程根与系数的关系练习

归纳
教 学 反 思

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