4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题

定积分的背景——面积和路程问题
过程:
一、问题引入
师：1.求下图中阴影部分的面积：

师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）
师：对于 ， ， ， 围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构
1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）
2、让学生说出自己的想法
希望学生说出以 的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。（在讨论的过程中渗透分割的思想）
师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）


方案一 方案二 方案三

方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）
师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：
⑴分割细化
将区间 等分成 个小区间 ， ，…， ，…， ，每个区间的长度为 （学生回答），过各个区间端点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 ， ，…， ，…， 。
⑵以直代曲
对区间 上的小曲边梯形，以区间左端点 对应的函数值 为一边的长，以 为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。即
（当分割很细时，在 上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法）
⑶作和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积 的近似值：

（复习 符号的运用）


⑷逼近
当分割无限变细时，即 无限趋近于 （ 趋向于 ）

当 趋向 时， 无限趋近于 ， 无限趋近于 ，故上式的结果无限趋近于 ， ，即所求曲边三角形面积是 。（在逼近的过程中，难点是求 在此应给学生一些时间探求自然数的平方和，
最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线部分时，这个问题也有所体现）
3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。
（设计的目的是培养学生的合作交流的能力，优化解题方案）
师：请用流程图表示求曲边三角形面积的过程

4、反思
在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）
（在新课程的课堂过程中，经常性地问学生一些这样的问题，可以让学生对自己的学习过程起到一个自查作用，查漏补缺，对培养学生学习数学的自查意识是一个很好的途径，也可以活跃课堂气氛）
三、数学应用
1、典型例题
师：在方案一中，和式 （*）表示曲边梯形的面积的近似值，这一和式不仅是有直观的几何意义，还有丰富的实际背景。
例1：火箭发射后 的速度为 （单位 ），假定 ，对函数 按（*）式所作的和具有怎样的意义？
解：将区间 等分成 个小区间，每个小区间的长度为 ，在每个小区间上取一点，依次为 ，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，可以用 来代替火箭在第一个小区间上的速度，这样，
火箭在第一个时段内运行的路程
同理 火箭在第二个时段内运行的路程
从而
火箭在 内运行的路程总和
这就是函数 在时间区间 上按（*）式所作的和的实际背景。
（由于学生初次遇到这类问题，语言表达比较困难，故教师在教学过程中最好采用对话式教学，边说边写，规范板书）
例2：如图，有两个点电荷 、 ，电量分别为 、 ，固定电荷 将电荷 从距 为 处移到距 为 处，求库仑力对电荷 所做的功。

先分析，再让学生尝试书写，然后投影解题过程。
（设计两道例题的目的，一是培养学生的文字表达能力，二是让学生体会数学在物理上的应用，也为后面的定积分的物理意义变力所做的功，变速运动的位移埋下伏笔）
学生练习：课本P46练习
四、回顾反思
知识点：⑴求曲边梯形面积的四个步骤；⑵数学知识在物理上的应用。
反思消化：⑴对今天学习的内容，你觉得有什么困难？
⑵在以前的学习过程中，有哪些地方用到了与今天类似的方法？
（希望学生能回忆起初中圆的周长、高中球的表面积以及线性回归方程等类似的内容）
五、布置作业：
1、探究：有没有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、课课练P41 1. 2
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。