第一讲 等差数列、等比数列
【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：
1．弄清等差、等比数列的基本概念及性质，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式。
2．掌握特殊数列的求和方法。如：倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。
3．利用数列中 与 之间的关系，求能项公式及解决其他数列问题。
4．利用数列的递推关系,求通项公式,结合n项和公式,解决数列应用题。
5．数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合，综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用。
6．利用方程的思想、根据公式列方程（组），解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题；利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和 的最值问题；利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问 题转化为等差、等比数列问题来解决；利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题。
7．结合数学归纳法解决一类归纳——猜想——证明的题目。
第一讲 等差数列、等比数列
【最新考纲透析】
1．数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念。
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
【核心要点突破】
要点考向1：有关等差数列的基本问题
考情聚焦：1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
考向链接：1．涉及等差数 列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；
2．等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d＞0,递增；d＜0，递减）；
3．证明数列{ }为等差数列有如下方法：①定义法；证明 （与n值无关的常数）；②等差中项法：证明 。
例1：（2010?浙江 高考文科?Ｔ19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足 +15=0。
（Ⅰ）若 =5，求 及a1；
（Ⅱ）求d的取值范围。
【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。
【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。
【规范解答】(Ⅰ)由题意知S6= =-3, =S6-S5=-8。所以
解得a1=7，所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)方法一：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[ 故d的取值范围为d≤-2 或d≥2 .
方法二：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
看成关于 的一元二次方程，因为有根，所以 ，解得 或 。
要点考向2：有关等比数列的基本问题
考情聚焦：1．等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点 处命题。
3．选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。
考向链接：（1）证明数列{ }为等比数列有如下方法：
①定义法：证明 。
②等比中项法： 。
（2）求一般数列{ }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。
例2：（2010?辽宁高考理科?Ｔ6）设{an}是有正数组成的等比数列， 为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 ( )
（A） (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式
【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组，解出a1 q 再利用前n项和公式求出
【规范解答】选B。根据题意可得：
要点考向3：等差、等比数列综合问题
考情聚焦：1．等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。
2．单独考查等差数列或等比数列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。
3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
例3：（2010?陕西高考理科?Ｔ１6）
已知 是公差不为零的等差数列， 且 成等比数列
（Ⅰ）求数列 的通项公式，（Ⅱ）求数列 的前n项和
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】已知 关于d的方程 d
【规范解答】
【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由 求通项，累加法、累乘法等
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。
4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
【高考真题探究】
1．（2010?福建高考理科?Ｔ3）设等差数列 的前n项和为 。若 ， ，则当 取最小值时，n等于（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
【思路点拨】 。
【规范解答】选A，由 ，得到 ，从而 ，所以 ，因此当 取得最小值时， .= ，又 ，故 ，从而 , .
2．（2010?辽宁高考文科?Ｔ3）设 为等比数列 的前n项和，已知
,则公比q = ( )
(A)3(B)4(C)5(D)6
【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式。
【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。
【规范解答】选B，两式相减可得： , 。故选B。
3．（2010?福建高考理科?Ｔ11）在等比数列{ }中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 = 。
【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。
【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ，进而求出通项 。
【规范解答】选A， ,
【方法技巧】另解： ，
4．（2010?辽宁高考文科?Ｔ14）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若S3=3，S6 =24，则a9= .
【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式
【思路点拨】根据等差数列前n项和公式，列出关于首项a1和公差d的方程组，求出a1和d，再求出
【规范解答】记首项a1公差d,则有 。
。
【答案】15
5．（2010?浙江高考文科?Ｔ14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。
【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。
【规范解答】第n行第一列的数为n，观察得，第n行的 公差为n，所以第n0行的通项公式为 ，又因为为第n+1列，故可得答案为 。
【答案】
6．（2 010?北京高考文科?Ｔ１6）已知 为等差数列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列 满足 ， ，求 的前n项和公式
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
【思路点拨】（1）由 可列方程解出 ，从而可求出通项公式；（2）求出 ，再求出公式。代入等比数列的前n项和公式即可。
【规范解答】（Ⅰ）设等差数列 的公差 。 因为
所以 解得 ，所以
（Ⅱ）设等比数列 的公比为
因为 所以 即 =3
所以 的前 项和公式为
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a 3=3，则S4=( )
(A)12(B)10(C)8(D)6
2.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x11+x12+x13+…+x20的值为( )
(A)10×211(B)10×210
(C)11×211(D)11×210
3.已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7?a14的最大值是( )
(A)25(B)50(C)100(D)不存在
4.已知 为等 比数列，Sn是它的前n项和。若 ， 且 与2 的等差中项为 ，则 =( )
A．35 B.33 C.31 D.29
5. 设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为 ，则下列等式中恒成立的是( )
A、 B、
C、 D、
6. （2010?潍坊模拟）已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9
A．S9
C．S7与S8均为Sn的最大值 D．a8=0
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n组各数的和是 .（用含n的式子表示）
8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009=_______;a2 014=_______.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10.数列 的通项 试问该数列有没有最大项？若有，求 出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由
11.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列，则am,am+2,am+1成等差数列.
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？并给出证明.
12.已知数列 中，前n项和为 ， ，并且 （ ），
（1）求 ， 的值；
（2）设 ，若实数 使得数列 为等差数列，求 的值。
（3）在（2）的条件下，设数列 的前n项和为 ，求证：
参考答案
一、选择题
1. 【解析】选C.S4= =2×(1+3)=8.
2. 【解析】选B.∵log2xn+1-log2xn=1,
∴{xn}为等比数列，其公比q=2,
又∵x1+x2+…+x10=10,
∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.
3. 【解析】选A.∵S20= ×20=100,
∴a 1+a20=10,
∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.
∵an>0,∴a7?a14≤( )2=25.
4. 【解析】选
由 ，又 得
所以， ， ， ，
5. 【解析】选 D，设等比数列 的公比为 ，由题意，
， ，所以 ，故D正确。
6. 【解析】选A 由题意知d<0，a8=0，所以
二、填空题
7. 【解析】前 组共有偶数的个数为
故第 组共有 个偶数，且第一 个偶数是正偶数数列
的第 ，
所以第n组各数的和为
答案：
8. 【解析】依题意，得a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.
答案：1 0
9. 【解析】∵a4=15,S5=55.
∴55= =5a3,∴a3=11.
∴公差d=a4-a3=15-11=4.
a10=a4+6d=15+24=39.
∴P(3,11),Q(10,39)
kPQ= =4.
答案：4
三、解答题
10. 【解析】方法1：
∴当n＜9时，
当 时 ，
当n＞9时， ，
故 ，
∴数列 中最大项为 或 .其值为 ，其项数为9或10
∴数列 中最大项为 或 .其值为 ，其项数为9或10
11. 【解析】（1）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am,am+2,am+1
成等差数列，则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
（2）设数列{an}的首项为a1，公比为q.
由题意知:2am+2=am+am+1，
即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,
12. 【解析】（1）由 （ ）得
即 （ ）
∵
∴
（2）由条件
∵ 为等差数列 ∴
即
解得
∴ 且 ，
∴ ，
即数列 是公差为 ，首项为 的等差数列
（3）由（2）得 （ ）
∴ 【备课资源】
4.已知数列前n项和Sn=(k-2)+kan,其中n∈N*，k>1.
(1)证明：{an}是等比数列；
(2)当a1
【解析】（1）Sn=(k-2)+kan,Sn+1=(k-2)+kan+1,
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