2012届高考数学知识导航函数复习教案

第二章　 函　数

高考导航

考试要求重难点击命题展望
　　1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单运用.
4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.
6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.
8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.
10.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax (a＞0且a≠1)互为反函数.
11.了解幂函数的概念，结合函数y＝x， y＝x2， y＝x3 ,
y＝ ， y＝ 的图象，了解它们的变化情况.
12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.
13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.本章重点： 1.函数的概
念及其三要素；
2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；
3.函数的最大(小)值；
4.指数函数与对数函数的概念和性质；
5.函数的图象及其变换；
6.函数的零点与方程的根之间的关系；
7.函数模型的建立及其应用.
本章难点：
1.函数概念的理解；
2.函数单调性的判断；
3.函数图象的变换及其应用；
4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；
5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；
6.函数模型的建立及求解.　　高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.

知识网络

2.1函数的概念及表示法

典例精析
题型一　求函数的解析式
【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f (x)的表达式；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f (x)的表达式.
【解析】(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得
f (x)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f (x)＝x2－x＋1.
(2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x＋3，
x换成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x＋3，解得f (x)＝x2－5x＋1.
【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是设g(x)＝t，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.
【变式训练1】已知f ( )＝ ，求f (x)的解析式.
【解析】设 ＝t，则x＝ ，所以f (t)＝ ＝ ，
所以f (x)＝ (x≠－1).

题型二　求函数的定义域
【例2】(1)求函数y＝ 的定义域；
(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域.
【解析】(1)要使函数有意义，则只需要
即
解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3).
(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，
解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4].
【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x来对待.
【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.
【解析】因为y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y＝f(log2x)的定义域为[2，4].
题型三　由实际问题给出的函数
【例3】 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.
【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB＝2x，
设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝ － x－x，半圆的半径为x，
所以y＝ ＋( －π2x－x)?2x＝－(2＋π2)x2＋lx.
由实际意义知 －π2x－x＞0，因x＞0，解得0＜x＜ .
即函数y＝－(2＋π2)x2＋lx的定义域是{x0＜x＜ }.
【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约.
【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是(　　)

【解析】由题意得y＝10x(2≤x≤10)，选A.
题型四　分段函数
【例4】 已知函数f(x)＝
(1)求f(1)＋f(－1)的值；
(2)若f(a)＝1，求a的值；
(3)若f(x)＞2，求x的取值范围.
【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.
(2)当a＜0时，f(a)＝a＋3＝1，解得a＝－2；
当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0. 所以a＝－2或a＝0.
(3)当x＜0时，f(x)＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；
当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x＞1.
所以x的取值范围是－1＜x＜0或x＞1.
【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.
【变式训练4】(2010全国新课标)已知函数f(x)＝ 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A.(1,10)B.(5,6)
C.(10,12)D.(20,24)
【解析】不妨设a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，所以－lg a＝lg b＝－12c＋6，所以ab＝1，所以abc的范围为(10,12)，故选C.
总结提高
1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.
2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.
3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.

2.2　函数的单调性

典例精析
题型一　函数单调性的判断和证明
【例1】讨论函数f(x)＝ax＋1x＋2 (a≠12)在(－2，＋∞)上的单调性.
【解析】设x1，x2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝(x1－x2)(2a－1)(x1＋2)(x2＋2)，
因为x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.
所以当a＜12时，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a＞12时，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.
【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.
【变式训练1】已知函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，且当x∈(0，π)时，f(x)＝x＋cos x，则f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是(　　)
A. f (2)＜f (3)＜f (4)B. f (2)＜f (4)＜f (3)
C. f (4)＜f (3)＜f (2)D. f (3)＜f (4)＜f (2)
【解析】B.
题型二　函数单调区间的求法
【例2】试求出下列函数的单调区间.
(1)y＝x－1；
(2)y＝x2＋2x－1；
(3)y＝ .
【解析】(1)y＝x－1＝
所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).
(2)y＝x2＋2x－1＝
所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).
(3)由于t＝－x2＋4x－3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).
【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.
【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝a；当a＜b时，a b＝b2.则函数f (x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2,2]的最大值是(　　)
A.－1B.6C.1D.12
【解析】B.
题型三　函数单调性的应用
【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.
(1)试判断函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
(2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2).
【解析】(1)当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，得f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.
(2)因为f(x)在[－1,1]上是增函数.所以由f(5x－1)＜f(6x2)知，

所以0≤x＜13，所求不等式的解集为{x0≤x＜13}.
【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.
【变式训练3】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，给出下列命题：
①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为　　　　　(把所有正确命题的序号都填上).
【解析】①②④.
总结提高
1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.
2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线.
3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.
4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧.
5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.

　2.3　函数的奇偶性

典例精析
题型一　函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝lg(1－x2)x2－2－2；
(2)f(x)＝
【解析】(1)由 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
这时f(x)＝lg(1－x2)－(x2－2)－2＝－lg(1－x2)x2，
因为f(－x)＝－lg[1－(－x)2](－x)2＝－lg(1－x2)x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
(2)当x＜0时，－x＞0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，
所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析
f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.
【变式训练1】(2010广东)若函数f(x)＝3x＋ 与g(x)＝3x－ 的定义域均为R，则(　　)
A. f (x)与g(x)均为偶函数B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数
C. f (x)与g(x)均为奇函数D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数
【解析】B.
题型二　由奇偶性的条件求函数的解析式
【例2】若函数f(x)＝x＋mx2＋nx＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式.
【解析】因为函数f(x)＝x＋mx2＋nx＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，
所以f(0)＝0，从而得m＝0. 又f(12)＋f(－12)＝0，解得n＝0.
所以f(x)＝xx2＋1(－1＜x＜1).
【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数，求a，b的值.
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ .
又由f(1)＝－f(－1)，所以1－2a＋4＝－1－12a＋1，解得a＝2. 故a＝2，b＝1.
题型三　函数奇偶性的应用
【例3】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6.
(1)求证：函数f(x)为奇函数；
(2)求证：函数f(x)在R上是增函数；
(3)在区间[－4,4]上，求f(x)的最值.
【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
又x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函数f(x)在R上是增函数.
(3)因为函数f(x)在R上是增函数，
所以f(x)在区间[－4,4]上也是增函数，
所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4)，
因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，
又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，
故函数f(x)在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12.
【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.
【变式训练3】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(－1)＝　 　，f(33)＝　 　.
【解析】4；－2.
总结提高
1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形.
2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f(－x)±f(x)＝0或f(－x)f(x)＝±1 (f(x)≠0)进行处理.
3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解.

　2.4　二次函数

典例精析
题型一　求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有

解得a＝12，b＝2，c＝1，所以f(x)＝12x2＋2x＋1.
【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为x1－x2＝b2－4aca.
【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是　　　　.
【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1.
所以1＋b＋c＝0，又－b2＝2?b＝－4，所以c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
题型二　二次函数的最值
【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3).
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②
由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－15.
因为a＜0，所以a＝－15，代入①得f(x)＝－15x2－65x－35.
(2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a，
又a＜0，可得[f(x)]max＝－a2＋4a＋1a.
由 ?a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.
【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法.
【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是　　　　.
【解析】[1,2].
题型三　二次函数在方程、不等式中的综合应用
【例3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程f(x)＝12[ f(x1)＋f(x2)]，求证：
(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；
(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－12，x2成等差数列，则－b2a＜m2.
【证明】(1)令g(x)＝f(x)－12[ f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)g(x2)＝12[ f(x1)－f(x2)] 12[ f(x2)－f(x1)]＝－14 [ f(x1)－f(x2)]2＜0，
所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解.
(2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，
又f(m)＝12[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax21＋bx1＋c＋ax22＋bx2＋c.
整理得a(2m2－x21－x22)＋b(2m－x1－x2)＝0，
a(2m2－x21－x22)＋b＝0，
所以－b2a＝m2－x21＋x222＜m2.
【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－b2a与区间的位置关系.
【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数α，β，a，b大小关系为(　　)
A.α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b
【解析】A.
总结提高
1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.
2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点.
3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.

2.5　指数与指数函数

典例精析
题型一　指数及其运算
【例1】计算：
(1) ；
(2)(0.027) －(－17)－2＋(279) －(2－1)0.
【解析】(1)原式＝ ? ? ? ? ＝125.
(2)原式＝(271 000 －(－1)－2(17)－2＋(259 －1
＝103－49＋53－1＝－45.
【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.
【变式训练1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，求 － 的值.
【解析】a＋b＝829，ab＝1.
原式＝2 ＝2(ab) ＝2.
题型二　指数函数性质的应用
【例2】已知函数f(x)＝2x－12x＋1，其中x∈R.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是R上的增函数.
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x∈R，
且f(－x)＝ ＝1－2x1＋2x＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数.
(2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ － = ＜0，
所以f(x)是R上的增函数.
【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.
【变式训练2】函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为(　　)

【解析】A.
题型三　指数函数的综合应用
【例3】已知函数f(x)＝2x－12x.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】f(x)＝2x－12x＝
(1)因为f(x)＝2，所以2x－12x＝2.
因为x≥0，所以2x＝1＋2，解得x＝log2(1＋2).
(2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1).
因为22t－1＞0，所以上式可化为m≥－(22t＋1).
又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以m≥－5.
故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞).
【变式训练3】已知函数f(x)＝2x－1，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0
C.2－a＜2cD.2a＋2c＜2
【解析】D.
总结提高
1.增强分类讨论的意识，对于根式na的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论.
2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.
3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.

2.6　对数与对数函数

典例精析
题型一　对数的运算
【例1】计算下列各题：
(1)2(lg2)2＋lg2 lg 5＋(lg2)2－lg 2＋1；
(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.
【解析】
(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg2－1)2
＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1.
(2)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.
【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.
【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3为　　　　.
【解析】由 ?lg 3＝3a2＋2b.
题型二　对数函数性质的应用
【例2】设函数f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)经过的定点坐标；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)解不等式log3(x－2)＜1.
【解析】(1)当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).
(2)当a＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.
(3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组
解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5).
【变式训练2】已知函数f(x)＝ 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　　.
【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.
题型三　对数函数综合应用
【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题设知3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1.
因为a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，
从而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜32，
所以a的取值范围为(0,1)∪(1，32).
(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，所以a＝32，
此时f(x)＝ (3－32x).
当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.
【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.
【变式训练3】给出下列四个命题：
①函数f(x)＝ln x－2＋x在区间(1，e)上存在零点；
②若f′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；
③若m≥－1，则函数y＝ (x2－2x－m)的值域为R；
④“a＝1”是“函数f(x)＝a－ex1＋aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.
则其中正确的序号是　　　　(把全部正确命题的序号都填上).
【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正数，所以函数
y＝ (x2－2x－m)的值域为R，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得a－e－x1＋ae－x＝－a－ex1＋aex，解得a＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a＝±1，故 “a＝1”是“函数f(x)＝a－ex1＋aex为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.
总结提高
1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.
2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.
3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.
4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.

2.7　幂函数与函数的图象

典例精析
题型一　幂函数的图象与性质
【例1】点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)、g(x)的解析式；
(2)问当x为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
【解析】(1)设f(x)＝xa，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将(2，2)代入f(x)＝xa中，得2＝(2)a，解得a＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xb，因为点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，14)代入g(x)＝xb中，得14＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：
①当x＞1或x＜－1时，g(x)＜f(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).
【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：
①设出幂函数的一般形式y＝xa(a为常数)；
②根据已知条件求出a的值；
③写出幂函数的解析式.
本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝1x2，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果.
【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
【解析】因为f(x)为幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数.
所以m＝2.
题型二　作函数图象
【例2】作下列函数图象：
(1)y＝1＋log2x；
(2)y＝2x－1；
(3)y＝x2－4.
【解析】(1)y＝1＋log2x的图象是：

(2)y＝2x－1的图象是：

(3)y＝x2－4的图象是：

【变式训练2】在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(ba)x的图象只可能是(　　)

【解析】A.
题型三　用数形结合思想解题
【例3】已知f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求m的取值范围，使方程f(x)＝mx有4个不同实根.
【解析】

递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；
递减区间为(－∞，1)，(2,3).
(2)设y＝mx与y＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l与y＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0＜m＜k.
由
?x2＋(k－4)x＋3＝0.①
令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±23.
当k＝4＋23时，方程①的根x1＝x2＝－3?(1,3)，舍去；当k＝4－23时，方程①的根x1＝x2＝3∈(1,3)，符合题意.故0＜m＜4－23.
【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y＝mx与y＝f(x)的交点情况.
【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈(0，12)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.0＜a＜1 B.116≤a＜1
C.a＞1 D.0＜a≤116
【解析】原不等式为x2＜logax，设f(x)＝x2，g(x)＝logax，因为0＜x＜12＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，12)内的图象，如图所示.
因为f(12)＝14，所以A(12，14)，当g(x)图象经过点A时，14＝loga12?a＝116，因为当x∈(0，12)时，logax＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以116≤a＜1，故答案为B.
题型四　有关图象的对称问题
【例4】设函数f(x)＝x＋1x，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).
(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.
【解析】(1)设P(u，v)是y＝x＋1x上任意一点，所以v＝u＋1u.①
设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，
所以 ?
代入①得2－y＝4－x＋14－x?y＝x－2＋1x－4.
所以g(x)＝x－2＋1x－4，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞).
(2)联立方程得
?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，
所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4).
【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于(　　)
A.－9B.9 C.－3 D.0
【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.
总结提高
掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况.
2.8　函数与方程

典例精析
题型一　确定函数零点所在的区间
【例1】已知函数f(x)＝x＋log2x，问方程f(x)＝0在区间[14，4]上有没有实根，为什么？
【解析】因为f (14)＝14＋log214＝14－2＝－74＜0，
f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f(14) f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在区间[14，4]是连续的，
所以函数f(x)在区间[14，4]上有零点，即存在c∈[14，4]，使f(c)＝0，
所以方程f(x)＝0在区间[14，4]上有实根.
【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：①函数f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；②f(a) f(b)＜0.
【变式训练1】若x0是函数f(x)＝x＋2x－8的一个零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)＝　　　.
【解析】因为函数f(x)＝x＋2x－8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2.
题型二　判断函数零点的个数
【例2】判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)；
(2)f(x)＝x－4＋log2x.
【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有两个不同的零点.
(2)因为函数f(x)＝x－4＋log2x在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点.
【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：
(1)方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数；
(2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；
特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y＝g(x)与y＝h(x)的交点个数.
【变式训练2】问a为何值时，函数f(x)＝x3－3x＋a有三个零点，二个零点，一个零点？
【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f(x)有极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知：
当－2＜a＜2时，函数f(x)有三个零点；
当a＝－2或a＝2时，函数f(x)有两个零点；
当a＜－2或a＞2时，函数f(x)有一个零点.
题型三　利用导数工具研究函数零点问题
【例3】设函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4.
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞23；由f′(x)＜0，得－2＜x＜23.
故f(x)的递增区间为(－∞，－2)、(23，＋∞)，
f(x)的递减区间为(－2，23).
(2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0，
令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a.
所以g′(x)＝3x2＋4x－4.
由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(23，＋∞)上递增，在(－2，23)上递减，故g(x)在[－3，
－2]和[23，2)上为增函数，在[－2，23]上为减函数.
关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则

解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.
【点拨】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a的条件.
【变式训练3】已知函数f(x)＝x33＋12ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a－1的取值范围为(　　)
A.(－1，－14)B.(－∞，14)∪(1，＋∞)
C.(14，1)D.(14，2)
【解析】因为f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知，

画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，b－2a－1表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝2－11－(－3)＝14，kBD＝2－01－(－1)＝1，所以14＜b－2a－1＜1，故选C.
总结提高
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.

2.9　函数模型及其应用

典例精析
题型一　运用指数模型求解
【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？
【解析】已知本金为a元，
1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；
2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r
＝a(1＋r)3；
　　　　?　　　　?
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.
将a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上式得
y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，
所以5期后的本利和是11 176.8元.
【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x.
【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是(　　)
A.(1＋p)12－1B.(1＋p)12
C.(1＋p)11D.12p
【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A.
题型二　分段函数建模求解
【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元.

(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？
(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？
【解析】设该店月利润额为L，则由假设得
L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，①

(1)当14≤p≤20时，由L≥0得18≤p≤20，
当20＜p≤26时，由L≥0得20＜p≤22，
故商店销售价应控制在18≤p≤22之内.
(2)当18≤p≤20时，L最大＝450元，此时，p＝19.5元.
当20＜p≤22时，L最大＝41623元，此时，p＝2013元.
故p＝19.5元时，月利润最大余额为450元.
(3)设可在n年内脱贫，依题意得
12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，
即最少可望在20年后脱贫.
【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义.
【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？
【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则

由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000，
所以此人稿费为5 000元.
题型三　生活中的优化问题
【例3】(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即2 400(3x＋5)2＝6，
解得x＝5，x＝－253(舍去).
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10，f′(x)＞0，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断.
【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为x＝　　 　，y＝　　　.
【解析】如图，由已知有x20－x＝24－yy－8，
即4x＋5y－120＝0，
S＝xy＝120(4x 5y)≤120(4x＋5y2)2＝180.
所以 ?x＝15，y＝12.
总结提高
利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，它们的增长存在很大的差异，如指数函数增长是指数“爆炸”，对数函数增长是逐步趋于平衡，而幂函数增长远低于指数函数，因此建立恰当数学模型并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测具有很强的现实意义.

2.10函数的综合应用

典例精析
题型一　抽象函数的计算或证明
【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x，y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
求证： f(x)是偶函数.
【证明】因为对于任何实数x、y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，
令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，
因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，
令x＝0，y＝x，则f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，
所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，
故f(x)是偶函数.
【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.
【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R，请判定f(x)的奇偶性.
【解析】取x＝y＝0，得f(0)＝0.
取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
题型二　函数与导数的综合应用
【例2】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.
(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.
【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.
(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.
(2)方法一：①当g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－13∈(－1,1)；
②当g(1)＝7－a＝0，即a＝7时，
f′(x)的零点x＝－73?(－1,1)，不合题意；
③当g(1)g(－1)＜0时，－1＜a＜7；

④当 时，－43≤a＜－1.综上所述，a∈[－43，7).
方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共点，作图可得a∈[－43，7).
方法三：等价于当x∈(－1,1)时，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋23)2－43∈[－43，7).
【变式训练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则a＋b＋c的取值范围为　　　　.
【解析】由已知c＝－1，a－b＋c＝0，所以a＋b＋c＝2a－2.
又 ?0＜a＜1，所以a＋b＋c∈(－2,0).
题型三　化归求函数的最大值和最小值问题
【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：

投资A商品
(万元)123456
获纯利
(万元)0.651.391.8521.841.40
投资B商品
(万元)123456
获纯利
(万元)0.250.490.7611.261.51
该经营者下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).
【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象.

据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系
y＝－a(x－4)2＋2 (a＞0)，①
y＝bx，②
把x＝1，y＝0.65代入①得a＝0.15，故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y＝－0.15(x－4)2＋2表示，
再把x＝4，y＝1代入②可得b＝0.25，故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y＝0.25x表示，
设下个月投资A商品x万元，则投资B商品(12－x)万元，则可获得纯利润为
y＝－0.15(x－4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x＋2.6，
可得当x≈3.2时，y取最大值4.1万元.
故下个月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元.
【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体现.根据表中所列数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.
【变式训练3】求函数y＝ 的值域.
【解析】x＝0时，y＝0；
x＞0时，y＝ ，所以0＜y＜1；
x＜0时，y＝ ，所以－2≤y＜0.
综上，－2≤y＜1.
总结提高
1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点：
(1)在解题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法；
(2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围；
(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题.
2.解函数应用题的基本步骤：
(1)阅读理解，审清题意.读题要逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所表达的实际背景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；
(2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引进其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问题，实现问题数学化，即建立数学模型；
(3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果；
(4)将所得结果转译成具体问题的解答.

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