广东省2013年中考数学试卷解析

2013年广东省初中毕业生学业考试
数 学
说明：1. 全卷共4页，考试用时100 分钟．满分为 120 分．
2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己准考证号、姓名、试室号、座位号，用2 B铅笔把对应号码的标号涂黑．
3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共 30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1. 2的相反数是
A. B. C.－2 D.2
答案：C
解析：2的相反数为－2，选C，本题较简单。
2.下列几何体中,俯视图为四边形的是
答案：D
解析：A、B、C的俯视图分别为五边形、三角形、圆，只有D符合。
3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1 260 000 000 000元,用科学记数法表示为
A. 0.126×1012元 B. 1.26×1012元 C. 1.26×1011元 D. 12.6×1011元
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
1 260 000 000 000＝1.26×1012元
4.已知实数 、 ，若 > ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
答案：D
解析：不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C错误，选D。
5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是
A. 1 B.2 C.3 D.5
答案：C
解析：将数据由小到大排列为：1，2，3，3，3，5，5，所以中位数为3。
6.如题6图,AC∥DF,AB∥EF,点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，
则∠1的大小是
A .30° B.40° C.50° D.60°
答案：C
解析：由两直线平行，同位角相等，知∠A＝∠2=50°，
∠1＝∠A=50°，选C。
7.下列等式正确的是
A. B. C. D.
答案：B
解析：（－1）－3＝－1，（－2）2×（－2）3＝25，（－5）4 （－5）2＝（－5）2，所以，A、C、D都错，选B。
8.不等式 的解集在数轴上表示正确的是
答案：A
解析：解不等式，得x＞2，故选A。
9.下列图形中,不是轴对称图形的是
答案：C
解析：圆和正方形都既是轴对称图形又是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形， 平行四边形是中 心对称图形，故选C。
10.已知 ,则是函数 和 的图象大致是
答案：A
解析：直线与y轴的交点为（0,－1），故排除B、D，又k2＞0，双曲线在一、三象限，所以，选A。
二、题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.分解因式： =________________.
答案：
解析：由平方差公式直接可以分解，原式＝ ＝
12.若实数 、 满足 ，则 ________.
答案：1
解析：由绝对值及二次根式的意义，可得： ，所以 ， 1
13.一个六边形的内角和是__________.
答案：720°
解析：n边形的内角和为（n－2）×180°，将n＝6代入可得。
14.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=________.
答案：
解析：由勾股定理，得AB＝5，所以sinA＝
15.如题15图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,
则四边形ACE′E的形状是________________.
答案：平行四边形
解析：C 平行且等于BE，而BE＝EA，且在同一直线上，所以，C 平行且等于AE，故是平行四边形。
16.如题16图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是__________(结果保留 ).
答案：
解析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为：
S＝ ＋ ＝
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）
17.解方程组
答案：
解析：用代入消元法可求解。
18.从三个代数式：① ，② ，③ 中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当 时该分式的值.
解析：选取①、②得 ，
当 时，原式= （有6种情况）.
19.如题19图，已知□ABCD.
(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC
(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,不连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC.
解析：
19. (1)如图所示, 线段CE为所求;
(2)证明:在□ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∴∠CEF=∠DAF
∵CE=BC,∴AD=CE,
又∵∠CFE=∠DFA,∴△AFD≌△EFC.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如【表1】和题20图所示的不完整统计图表.
(1)请你补全下列样本人数分布表（【表1】）和条形统计图（题20图）；
（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数
解析：
21.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解析：
22.如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 ,
则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”)；
（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
解析：
（1） S1= S2+ S3；
（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;
选△BCF∽△CDE
证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 已知二次函数 .
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函 数的解析式;
(2)如题23图,当 时,该抛物线与 轴交于点C,顶点为D,
求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下, 轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点
存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
解析：
(1)m=±1,二次函数关系式为 ；
（2）当m=2时， ，∴D(2,－1);当 时， ，∴C(0,3).
(3)存在.连结C、D交 轴于点P,则点P为所求,由C(0,3)、D(2,－1)求得直线CD为
当 时, ,∴P( ,0).
24.如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,
BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是⊙O的切线.
解析：
(1)∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD.
(2)在Rt△ABC中，AC= ,易证△ACB∽△DBE,得 ,
∴DE=
(3)连结OB,则OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°,
又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知 ∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE
∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.
25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,
∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,
则∠EMC=______度；
(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;
(3)在三角板DEF运动过程中,设BF= ,两块三角板重叠部分面积为 ,求 与 的函数解析式,并求出对应的 取值范围.
解析：
（1）15；（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC= =6÷
(3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x
∵MN∥DE
∴△FMN∽FED,∴ ,即 ，∴
①当 时,如图(4) ,设DE与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x
∴
即 ;
②当 时,如图(5),
即 ;
③当 时, 如图(6) 设AC与EF交于点H，
∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°
∴AH=
综上所述，当 时，
当 ，
当 时，


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