聊城市2013年初中学业考试数学试题（带答案）

2013年聊城市初中学业考试数学试题
满分120分，时间120分钟
不准使用计算器
一、（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1． 的相反数是（ ）．
A． B． C． D．
2． 是指大气中直径 米的颗粒物，
将 用科学记数法表示为（ ）．
A． B．
C． D．
3．右图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，
小立方块的个数是（ ）个．
A． B． C． D．
4．不等式组 的解集在数轴上为（ ）．
5．下列命题中的真命题是（ ）．
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
6．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）个．
A． B． C． D．
7．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米，那么钢丝大约需加长（ ）厘米．
A． B． C． D．
8．二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的图象大致是（ ）．
9．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为 ，
则AB的长为（ ）米．
A． B． C． D．
10．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生的成绩达到优秀．估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）人．
A． B． C． D．
11．如图，点D是 ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，
∠DAC=∠B．若 ABD的面积为 ，则 ACD的面积为（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移
得到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线弧所围成
的阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13．若 是关于 的方程 的一个根，则此方程的另一个根 ．
14．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为 ．用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 厘米．
15．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D、E、F、G、H五个队．如果从A、B、D、E四个队与C、F、G、H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是 ．
16．如图，在等边 ABC中，AB=6，点D是BC的中点．将 ABD
绕点A旋转后得到 ACE，那么线段DE的长度为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、
向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，
得到点 ，
那么点 （ 是自然数）的坐标为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（本题满分7分）
计算： ．
19．（本题满分8分）
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD= ，
BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
20．（本题满分8分）
小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，下图是他们投标成绩的统计图．
平均数中位数众数
小亮7
小莹79
⑴根据图中信息填写下表：
⑵分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．
21．（本题满分8分）夏季来临，天气逐渐炎热起来．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
22．（本题满分8分）如图，一只猫头鹰蹲在一颗树AC的点B处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处．已知点B在AC上，DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为 ，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上．
（参考数据： ）．
⑴猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
⑵要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
23．（本题满分8分）如图，一次函数的图象与 轴、 轴分别相交
于A、B两点，且与反比例函数 的图象在第二象限交于点C．
如果点A的坐标为 ，B是AC的中点．
⑴求点C的坐标；
⑵求一次函数的解析式．
24．（本题满分10分）如图，AB是 的直径，AF是 的
切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线
与AF相交于点F，CD= ，BE=2．
求证：⑴四边形FADC是菱形；
⑵FC是 的切线．
25．（本题满分12分）已知在 ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
⑴写出 ABC的面积 与BC的长 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
⑵当BC多长时， ABC的面积最大？最大面积是多少？
⑶当 ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
参考答案
一、：答案BDBAC BACAD CB
11．【解析】由已知∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，∴ ABC∽ DAC，∴ ，
即 ，∴ ，∴ ．
12．【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得：
区域D的面积=区域C的面积=区域B的面积，
∴阴影面积=区域A的面积加上区域D的面积=正方形的面积4．
二、题：答案 5 25 0.375
13．【解析】把 代入 得： ，由根与系数的关系得： ，∴ ．
14．【解析】依题意得： ，解得： ．
15．【解析】依题意得：概率 ．
16．【解析】依题意知： ACE≌ ABD≌ ACD，∴ ADE是等边三角形，∴ ．
17．【解析】不难发现规律：动点的横坐标每变换4次就增加2，纵坐标不变，故点 的坐标为 ．
三、解答题
18．【解析】原式 ．
19．【证明】连接BD、AC，∵BC=CD，∠BCD= ，∴ BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD= ，
∵∠A=∠BCD= ，∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAE=∠CAD=∠CBD= ，
又∵CE⊥AD，∴ ACE是等腰直角三角形，∴AE=CE．
【法二】作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE= ，∠D+∠DCE= ，
∴∠BCF=∠D，又BC=CD，∴Rt BCF≌Rt CDE，∴BF=CE，
又∠BFE=∠AEF=∠A= ，∴四边形ABFE是矩形，∴BF=AE，
因此AE=CE．
平均数中位数众数
小亮777
小莹77.59
20．【解析】⑴
⑵平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．
21．【解析】设调价前碳酸饮料每瓶 元，果汁饮料每瓶 元，依题意得：
即 解得：
答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．
22．【解析】⑴依题意得：∠AGC= ，∠GFD=∠GCA= ，
∴DG=DF =3米=DM，因此这只猫头鹰能看到这只老鼠；
⑵ ∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7，∴CG=AG =9.5（米），
因此猫头鹰至少要飞9.5米．
23．【解析】⑴作CD⊥ 轴于D，则CD∥BO，
∵B是AC的中点，∴O是AD的中点，∴点D的横坐标为?2，
把 代入到 中，得： ，
因此点C的坐标为 ；
⑵ 设一次函数为 ，由于A、C两点在其图象上，
∴ 解得：
因此一次函数的解析式为 ．
24．【证明】⑴连接OC，
依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，∴AF∥CD，
又CD∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，
由垂径定理得：CE=ED= ，
设 的半径为R，则OC=R，OE=OB?BE=R?2，
在 ECO中，由勾股定理得： ，解得：R=4，
∴AD= ，∴AD=CD，
因此平行四边形FADC是菱形；
⑵ 连接OF，由⑴得：FC=FA，又OC=OA，FO=FO，
∴ FCO≌ FAO，∴∠FCO=∠FAO= ，
因此FC是 的切线．
25．【解析】⑴依题意得： ，
解方程 得： ，∴当 ABC面积为48时BC的长为12 或8；
⑵ 由⑴得： ，
∴当 即BC=10时， ABC的面积最大，最大面积是50；
⑶ ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
由⑵可知 ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10，
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点 ，
连接 交直线L于点 ，再连接 ，
则由对称性得： ，
∴ ，
当点A不在线段 上时，则由三角形三边关系可得：
，
当点A在线段 上时，即点A与 重合，这时 ，
因此当点A与 重合时， ABC的周长最小；
这时由作法可知： ，∴ ，∴ ，


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