专题五：解析几何
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题）
【最新考纲透析】
1．圆锥曲线
（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。
（4）了解圆锥曲线的简单应用。
（5）理解数形结合的思想。
2．曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
【核心要点突破】
要点考向1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程
考情聚焦：1．圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线。
2．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。
3．既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。
考向链接：1．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。
2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。
3．求椭圆、 双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 的等量关系，然后把b用a、c代换，求 的值。
4．在双曲线中由于 ，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ19）已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 。
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的角平分线所在直线 的方程；
(3)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
【命题立意】本题主要考查椭圆的定 义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力．
【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；
（2）根据角平分线的性质求出直线 的斜率或直线 上的一个点的坐标，进而求得直线 的方程；
（3）先假设椭圆 上存在关于直线 对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。
【规范解答】（1）设椭圆 的方程为 （ ），
由题意 ， ，又 ，解得：
椭圆 的方程为
（2）方法1：由（1）问得 ， ，又 ，易得 为直角三角形，其中
设 的角平分线所在直线 与x轴交于点 ，根据角平线定理可知： ，可得 ，
直线 的方程为： ，即 。
方法2：由（1）问得 ， ，又 ，
， ，
，
， 直线 的方程为： ，即 。
（3）假设椭圆 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，
令 、 ，且 的中点为
， ，
又 ，两式相减得:
,即 （3），
又 在直线 上， （4）
由（3）（4）解得： ，
所以点 与点 是同一点，这与假设矛 盾，
故椭圆 上不存在关于直线 对称的相异两点。
【方法技巧】
1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；.
2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算；
3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。
要点考向2：最值或定值问题
考情聚焦：1．以圆锥曲线为载体的最值或定值问题在高考题中几乎每年都涉及。
2．可与函数、不等式等知识交汇，体现知识间的联系。
3．多以解答题形式出现，属中高档题目。
考向链接：解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：
（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；
（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；
（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；
（4）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。
例2：（2010?北京高考文科?Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当 变化时，求y的最大值.
【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中 的关系，离心率 .直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中 最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.
【思路点拨】由焦点可求出 ，再利用离心率可求出 。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.
【规范解答】（Ⅰ）因为 ，且 ，所以
所以椭圆C的方程为 .
（Ⅱ）由题意知
由 得
所以圆P的半径为 .
由 ，解得 .所以点 P的坐标是（0， ）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程 .因为点 在圆P上。所以由图可知 。设 ，则
当 ，即 ，且 ， 取最大值2.
【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系： 时相离； 时相切； 时相交；
（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.
要点考向3：求参数范围问题
考情聚焦 ：1．与圆锥曲线有关的求参数范围问题在高考题中经常出现。
2．多在解答题中出现，属中高档题。
例3：（2010?山东高考理科?Ｔ21）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；
（3）是否存在常数 ，使得 恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线
的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试
题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）
是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】( 1)根据离心率和周长构造含有 的方程组，可求出椭圆的方程，再根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点可求双曲线的方程;（2）设出点P的坐标，再将 用点P的坐标表示，并利用点P在双曲线上进行化简；（3）设直线AB的斜率为 ，则由（2）的结果可将直线 CD的斜率用 表示，然后设出直线AB与CD的方程，利用弦长公式将 与 表示出来，最后将 用 表示出来，通过化简可判断 是否为常数.
【规范解答】（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ，又 ，所以可解得 ， ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ；所以椭圆的焦点坐标为（ ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 .
（2）设点P（ ， ），则 = ， = ，所以 =
，又点P（ ， ）在双曲线上，所以有 ，即 ，所以
=1.
（3）假设存在常数 ，使得 恒成立，则由（2）知 ，所以设直线AB的方程为 ，则直线CD的方程为 ，
由方程组 消y得： ，设 ， ，
则由韦达定理得：
所以AB= = ，同理可得
CD= = = ，
又因为 ，所以有 = +
= ，所以存在常数 ，使得 恒成立。
【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题
1、基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论和参数无关.
2、基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.
注：与圆锥曲线的参数问题是高考考查的热点问题。解决这类问题常用以下方法：
（1）根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等式求出范围；
（2）用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的相关方法求解；
（3）建立某变量的一元二次方程，利用判别式求该参数的范围；
（4）研究该参数所对应几何意义，利用数形结合法求解。
要点考向4：圆锥曲线综合问题
考情聚焦：1．圆锥曲线综合问题，特别是直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线与向量相结合的题目是新课标高考重点考查的内容。
2．呈现方式可以是选择题、填空题，属中档题，也可以是解答题，属中高档题。
例4：（2010?江苏高考?Ｔ１8）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（ ）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
【思路点拨】（1）设出P点的坐标，然后代入 ，化简即可；(2) 点T为直线MT和NT的交点；（3）联立直线MAT、直线NBT和椭圆方程，求出M和N的坐标，从而求出直线MN的方程,进而求证结论.
【规范解答】（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 ，得 化简得 。
故所求点P的轨迹为直线 。
（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ）
直线MTA方程为： ，即 ，
直线NTB 方程为： ，即 。
联立方程组，解得： ，
所以点T的坐标为 。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为： ，即 ，
直线NTB 方程为： ，即 。
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，
解得： 、 。
方法一：当 时，直线MN方程为：
令 ，解得： 。此时必过点D（1，0）；
当 时，直线MN方程为： ，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
方法二：若 ，则由 及 ，得 ，
此时直线MN的方程为 ，过点D（1，0）。
若 ，则 ，直线MD的斜率 ，
直线ND的斜率 ，得 ，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过 轴上的点（1，0）。
【方法技巧】由于定点、定值是变化中得不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是合适的参数表示变化的量.
当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标.
【高考真题探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ１1）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.
【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出 的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.
【规范解答】选C，设 ，则 ，又因为
，又 ， ，所以 .
2．（2010?安徽高考理科?Ｔ5）双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义，考查考生对双曲线方程理解认知水平．
【思路点拨】方程化为标准形式 确定实半轴 和虚半轴 由 求半焦距
确定右焦点坐标.
【规范解答】选 C， 双曲线方程为 ，
， ，得 ，
它的右焦点坐标为 ，故C正确.
3．（2010?福建高考理科?Ｔ２）以抛物线 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解.
【思路点拨】 的焦点为 ，求解圆方程时，确定了圆 心与半径即可.
【规范解答】选D，抛物线的焦点为 ，又圆过原点，所以 ，
方程为 .
【方法技巧】方法一：（设圆的标准方程） 抛物线的焦点为 ， 圆心为 ，设圆的方程为 ，又 圆过原点 ， ， ， 所求圆的方程为 即为 ；
方法二：（设圆的一般方程）设圆的方程为 ， 抛物线的焦点为 ， 圆心为 ， ，又圆过原点， ， ， 所求圆的方程为 .
4．（2010?福建高考文科?Ｔ１9）已知抛物线C： 过点A （1 , -2）.
（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.
【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想.
【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为 ，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于 列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制.
【规范解答】（I）将 代入 ，得 ， ，
故所求的抛物线方程为 ，其准线方程为 ；
（II）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，由 得 ，因为直线 与抛物线C有公共点，所以 ，解得 。另一方面，由直线OA与直线 的距离等于 可得 ，由于 ，所以符合题意的直线 存在，其方程为 .
【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式 的限制.因为抛物与直线有交点，注意应用 进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.
5．（2010?重庆高考文科?Ｔ21）已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率
（1 ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
（2）如 图，已知过点 的直线
与过点 （其中 ）的直线 的交点
在双曲线 上，直线 与双曲线的两条渐近线分别交与 , 两点，
求 的值.
【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法.
【思路点拨】（1）由 求出 ，再由 求出 ；（2）点E是关键点，根据点E的坐标求出直线MN的方程，解两条直线组成的方程组的点G，H的坐标，即向量 , 的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得.
【规范解答】(1)设C的标准方程为 ( , )，
则由题意知 ，又 ， 所以 ，
，C的标准方程为
C的渐近线方程为 ，即 和 .
（2）（方法一）由题意点 在直线 ： 和 ： 上，
因此有 ， ，
所以点M，N均在直线 上，
因此直线MN的方程为 ；
设G，H分别是直线MN与渐近线 及 的交点，
解方程组 及 得： ， ，
所以 ， ，
故 ，
因为点E在双曲线 上，有 ，所以 .
（方法二）设 ，由方程组
解得 ， ，
因为 ，所以直线MN的斜率 ，
故直线MN的方程为 ，注意到 ，
因此直线MN的方程为 .
以下与解法一相同.
【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点；（2）已知与未知的相互转化，即关于点E的坐标两个等式 和 ，通过转化字母的已知与未知的关系， 和 看作已知，点 和 代入方程 所得，简捷得到直线MN的方程；（3）关键点E在解题中的关键作用.
6．（2010?海南高考理科?T20）设 分别是椭圆E: （a>b>0）的左、右焦点，过 斜率为1的直线 与E 相交于 两点，且 , , 成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率；
（Ⅱ）设点P（0,-1）满足 ,求E的方程.
【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.
【思路点拨】利用等差数列的定义，得出 , , 满足的一个关 系，然后再利用椭圆的定义进行计算.
【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知， ，又
得 ， 的方程为 ，其中
设 ，则 两点坐标满足方程组
化简得，
则 ， .
因为直线AB斜率为1，所以
得 ，故 ,所以E的离心率 .
（Ⅱ）设 两点的中点为 ，由（Ⅰ)知 ， .
由 ，可知 .即 ，得 ，从而 .
椭圆E的方程为 .
【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，则它的标准方程是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，斜率为1的直线 与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线 恰有3条，则 的值为（ ）
A. B . C. D.
3．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 、 两点，若 为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4．两个正数a、b的等差中项是 , 一个等比中项是 的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 ，以 为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，椭圆 的离心率 ,左焦点为F,A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则 的值等于 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于两点A、B,交其准线于C,若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方程为_______.
8．某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 ．
9．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P,Q两点，则PQ｜的值为__________.
三、解答题（10、11题15分，12题16分）
10．如图、椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。
(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线任意转动，都有 ，求a的取值范围.
11．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明FP-FPcos2α为定值，并求此定值。
12．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知点 是双曲线M： 的左右焦点，其渐近线为 ，且右顶点到左焦点的距离为3．
(1)求双曲线M的方程；
(2) 过 的直线 与M相交于 、 两点，直线 的法向量为 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足 ，求m的值及△ABC的面积 ．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．A
4．D
5．B
6． B
二、填空题
7．【解析】分别作A、B在l上的射影A1、B1,
∴AA1=AF=3,
BB1=BF= BC.
∴∠BCB1=30°,
∴AC=2AA1=6,
∴FC=3.
∴p= FC= .
∴抛物线方程为y2=3x.
答案：y2=3x
8．3.84米
9．
三、解答题
10．【解析】(1)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以 , -----------------------------2分
即1＝ -------------------------------------------------------4分
因此，椭圆方程为 ----------------------------------6分
(2)设
①当直线 AB与x轴重合时，
----------8分
②当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以 ------------------------------10分
因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角.
即 恒成立.
---------------------------------------- -12分
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m R恒成立.
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m R恒成立.
当m R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2
因为a>0,b>0,所以a
0,
解得a> 或a< (舍去)，即a> , -------------------------15分
11．【解析】：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而
因此焦点 的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为
从而所求准线l的方程为 ……………（6分）
（Ⅱ）解：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
FA=FC,FB=BD.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
FA＝AC＝ 解得 ，
类似地有 ，解得
记直线m与AB的交点为E，则
所以
故 ………………………（15分）
12．【解析】 (1) 由题意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直线 的方程为 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化简，并解得 （舍去负值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化简得 ，
此时 ，
所以 …………………………………11分
设 ，由 得 代入双曲线M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
点C到直线AB的距离为 ，
所以 ．……………………………………………………16分
【备课资源】
3. 点M(5,3)到抛物线x2=ay(a＞0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是_______.
【解析】抛物线的准线方程为y=- ,由题意知
3+ =6,∴a=12.
∴抛物线方程为x2=12y.
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