逍遥学能 2013-04-08 17:45
新标——回归教材
三角函数
1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.
2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
3. 弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
1(rad)= , (rad).
弧长公式: ,扇形面积公式: .
典例:已知扇形 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.（答:2 ）
4.终边相同的角的表示:
(1) 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.
典例:与角 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是 ,合 弧度.
(2) 终边在坐标轴上的角可表示为: .
典例: 的终边与 的终边关于直线 对称,则 ＝ .
(3)各种角的集合表示
名称角度表示形式( )
弧度表示形式( )
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
终边落在x轴上
终边落在y轴上
终边落在y=x轴上
终边落在y=-x轴上
判断一个角的终边在哪个象限？是第几象限角？是解决后面一系列问题的基础.那么我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角 化成 , 或者是化成 ,这样只要判定 是第几象限角就可以了.
典例: (1) ,因为 是第一象限角,所以 的终边也在第一象限;
(2) ,因为 是第一象限角,所以 的终边也在第一象限.
5. 与 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.
如图,若角 终边在第一(二、三、四)象限,则角 的终边位于
右图中标有数字1(2、3、4)区域.这个方法叫做等分象限法.
典例:若 是第二象限角,则 是第 一、三 象限角.
6.任意角的三角函数的定义:设 是任意一个角,P 是 的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是 ,那么 , .三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.
典例:(1)已知角 的终边经过点P(5,－12),则 的值为 ;
(2)设 是第三、四象限角, ,则 的取值范围是 ;
(3)若 ,试判断 的符号（答:负）
7.三角函数线的特征是:正弦线P“站在 轴上(起点在 轴上)”、
余弦线O“躺在 轴上(起点是原点)”、正切线AT“与圆 切在点 处(起点是 )”.
三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.
典例:(1)若 ,则 的大小关系为 ;
(2)若 为锐角,则 的大小关系为 ;
(3)函数 的定义域是
8.特殊角的三角函数值:
30°45°60°0°90°180°270°15°75°
010－1
10－10
1
002-
2+
1
002+
2-
9.同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系: ;(2)商数关系: .
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.
解题方法总结
(1)已知一弦值,求正切.通常是利用 、 求另一弦值,然后利用 求正切.要注意 的象限,分象限定符号.
(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程组.方法二是利用一个推导公式直接求,公式 , ,不过还是要注意开根号时的正负的确定.
(3)解题中常用的三种技巧:一、切化弦;二、1的代换;三、分子分母同时除以 或者 .
(4)解题中常用的两组公式: ;
.
典例:(1)函数 的值的符号为大于0;
(2)若 ,则使 成立的 的取值范围是 ;
(3)已知 , ,则 ＝ ;
(4)已知 ,则 ＝ ; ＝ ;
(5)已知 ,则 等于 B A. B. C. D. ;
(6)已知 ,则 的值为 －1 .
10.三角函数诱导公式( )的本质是:奇变偶不变(对 而言,指 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把 看成是锐角).
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:“负化正,大化小,化成锐角再查表”即:(1)负角变正角,再写成2k + , ;(2)转化为锐角三角函数.
典例:(1) 的值为 ;
(2)已知 ,则 ,若 为第二象限角,则
.
11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
正: ;逆: ,其中 .
正: ;逆: ,其中 .
正: ;变: .
正: ;变:
正: ;
变: (降角升幂公式),
逆: (降幂升角公式); (半角正切)
典例:(1)下列各式中,值为 的是 C
A. B. C. D.
(2)命题P: ,命题Q: ,则P是Q的 C 条.
A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要;
(3)已知 ,那么 的值为 ;
(4) 的值是 4 ;
(5)已知 ,求 的值(用 表示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 甲、乙都对 .
12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.
基本的技巧有:★★★
(1)巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如: , ,
, , 等.
典例:(1)已知 , ,那么 的值是 ;
(2)已知 ,且 , ,求 的值 ;
(3)若 为锐角, ,则 与 的函数关系为 .
(2)三角函数名互化(切化弦),
典例:(1)求值 = 1 ;
(2)已知 ,求 的值
(3)公式变形使用（ .
典例:(1)已知A、B为锐角,且满足 ,则 ＝ ;
(2) 中, , ,则此三角形是 等边 三角形.
(4)三角函数次数的降升(降幂公式: , 与升幂公式: , ).
典例:(1)若 ,化简 为 ;
(2) 的单调递增区间为 .
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).
典例:(1) = ;
(2)求证: ; (3)化简: = .
(6)常值变换主要指“1”的变换（ 等）
典例:已知 ,求 = .
(7)正余弦“三兄妹— ”的内存联系—“知一求二”.
典例:(1)若 ,则 ,特别提醒:这里 ;
(2)若 ,求 的值.（答: ）;
(3)已知 ,试用 表示 的值（答: ）.
13.辅助角公式中辅助角的确定: (其中 角所在的象限由a, b的符号确定, 角的值由 确定)在求最值、化简时起作用.★★★
典例:(1)若方程 有实数解,则 的取值范围是 [－2,2] .;
(2)当函数 取得最大值时, 的值是 ;
(3)如果 是奇函数,则 = －2 ;
(4)求值: 32 .
14.正弦函数和余弦函数的图象:
正弦函数 和余弦函数 图
象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,
的五点,再用光滑的曲线把这五点连
接起,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周
期内的图象.如右图所示:
15.正弦函数 、余弦函数
性质:(1)定义域R.(2)值域 .
对 ,当 时, 取最大值1;当 时, 取最小值－1;对 ,当 时, 取最大值1,当 时, 取最小值－1.
典例:(1)若函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 , ;
(2)函数 （ ）的值域是 [－1, 2] ;
(3)若 ,则 的最大值和最小值分别是 7 、 -5 ;
(4) 的最小值是 2 ,此时 = ;
(5)己知 ,则 的取值范围 ;
(6)若 ,则 的最大值 1 、最小值 .
特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?例如前面的关于求值域的一个运用！
(3)周期性:① 、 的最小正周期都是2 ;
② 和 的最小正周期都是 .
典例:(1)若 ,则 ＝ 0 ;
(2)函数 的最小正周期为 ;
(3)设 ,若 恒成立,则 = 2 .
(4)奇偶性与对称性:
①函数 是奇函数,对称中心是 ,对称轴是直线 ;
②函数 是偶函数,对称中心是 ,对称轴是直线 （正(余)弦型函数的对称轴为过最值点且垂直于 轴的直线,对称中心为图象零点所在点.）
典例:(1)函数 的奇偶性是 偶函数 ;
(2)已知函数 为常数）,且 ,则 －5 ;
(3) 的对称中心和对称轴分别是 、 ;
(4)已知 为偶函数,求 的值.（答: ）
(5)单调性:
上单调递增,在 单调递减;
在 上单调递减,在 上单调递增.
16.形如 的函数:
(1)几个物理量:A?振幅; ?频率（周期的倒数）; ?相位; ?初相;
(2)求 表达式:A由最值确定; 由周期确定; 由图象上的特殊点确定.
(3)函数 图象的画法:
①“五点法”—设 ,令 ＝0, 求出相应的 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法.
(4)函数 的图象与 图象间的关系:
① 的图象上各点向左( >0)或向右( <0)平移 个单位得 的图象;
② 图象的纵坐标不变,横坐标变为原的 ,得到函数 的图象;
③ 图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原的A倍,得 图象;
④ 图象上各点向上( )或向下( ),得到 的图象.特别注意:由 得到 的图象,则向左或向右平移应平移 单位.
典例:(1)函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？
（答: 向上平移1个单位得 的图象,再向左平移 个单位得 的图象,横坐标扩大到原的2倍得 的图象,最后将纵坐标缩小到原的 即得 的图象）;
(2)要得到函数 的图象,只需把函数 的图象向 左 平移 个单位;
(3)(现在考纲不作要求)将函数 图像,按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出 ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 );
(4)若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点,则 的取值范围是 .
(5)研究函数 性质的方法:
类比于研究 的性质,只需将 中的 看成 中的 ,但在求 的单调区间时,要特别注意A和 的符号,通过诱导公式先将 化正.
典例:(1)函数 的递减区间是 ;
(2) 的递减区间是 ;
(3)设函数 的图象关于直线 对称,它的周期是 ,则( C )
A、 B、 在区间 上是减函数
C、 D、 的最大值是A;
(4)对于函数 给出下列结论, 其中正确结论是 ②④ .
①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 成轴对称;
③图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到;
④图像向左平移 个单位,即得到函数 的图像.
(5)已知函数 图象与直线 的交点中,距离最近两点间的距离为 ,那么此函数的周期是
17.正切函数 的图象和性质:
(1)定义域: .有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？
(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性: ,它与直线 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 .
绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定.(只作了解即可)
典例:(1) , 的周期都是 .
(2) 的周期为 .
(3) 的周期都是 ;
(4) 奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 .
特别提醒:正切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 轴的交点,另一类是渐近线与 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.
(5)单调性:正切函数在开区间 内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调性.
18.三角形中的有关公式:
(1)内角和定理:三角形三角和为 ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).
注意:①正弦定理的一些变式: ;
; ;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理: 等,常选用余弦定理鉴定三角形形状.
(4)面积公式: (其中 为三角形内切圆半径).
海伦-秦九韶公式 ,其中 .
典例: 中,若 ,判断 的形状（答:直角三角形）.
特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意 这个特殊性:所以有,
;
(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.
典例:(1) 中,A、B的对边分别是 ,且 ,那么满足条的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答:C）;
(2)在 中,A＞B是 成立的 充要 条;
(3)在 中, ,则 ＝ ;
(4)在 中,若 ,则 ＝ ;
(5)在 中,若其面积 ,则 = ;
(6)在 中, ,这个三角形的面积为 ,则 外接圆的直径是 ;
(7)在△ABC中, = , 的最大值为 ;
(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 ;
(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若 ,且 的面积满足关系式 ,求 （答: ）．
19.求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条易求出此三角函数值）.
特别提示:要尽量利用已知条精确地确定角所在的范围.
典例:(1)若 ,且 、 是方程 的两根,则求 的值 ;
(2) 中, ,则 ＝ ;
(3)若 且 , ,求 的值（答: ）.