2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)

一、：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1、设函数 的定义域为集合M，集合N＝ ，则 （ ）．
A． B．N C． D．M
2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）．
A． B． C． D．
3、如果执行的程序框图（右图所示），那么输出的 （ ）．
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲线 的一条切线 与直线
垂直，则切线 的方程为（ ）．
A、 　 B、
C、 D、
5、方程 有实根的概率为（ ）．
A、 B、 C、 D、
6、已知 是平面， 是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．
A、若 ∥ ，则 　 B、若 ∥ ，则 ∥
C、若 ，则 ∥ 　D、若 ，则
7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“ ”图案，
如图所示，设小矩形的长、宽分别为 、 ，剪去部分的面积为 ，
若 ，记 ，则 的图象是（ ）．
8、将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非，共110分）
二、题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．
9、已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于 ．
10、已知 ，则 = ．
11、 是虚数单位，则 ．
12、函数 由下表定义：
若 ， ， ，则 ．
13、(坐标系与参数方程选做题)曲线 ： 上的点到曲线 ： 上的点的最短距离为 ．
14、(不等式选讲选做题)已知实数 满足 ，则 的最大值为 ．
15、(几何证明选讲选做题)如图，平行四边形 中，
，若 的面积等于1cm ,
则 的面积等于 cm ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、（本小题满分12分）设正项等比数列 的前 项和为 , 已知 ， ．
（Ⅰ）求首项 和公比 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
17、（本小题满分12分）设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当 时， 的最大值为2，求 的值，并求出 的对称轴方程．
18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
（方差： ）
19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥 的
底面 是菱形； 平面 , ，
点 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正切值．
20、（本小题满分14分）给定圆P: 及抛物
线S: ,过圆心 作直线 ,此直线与上述两曲线
的四个交点,自上而下顺次记为 ,如果线
段 的长按此顺序构成一个等差数列,求直
线 的方程.
21、（本小题满分14分）设M是由满足下列条件的函数 构成的集合：“①方程 有实数根；②函数 的导数 满足 ”．
（Ⅰ）判断函数 是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素 具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意[m，n] D，都存在 [m，n]，使得等式 成立”，试用这一性质证明：方程 只有一个实数根；
（Ⅲ）设 是方程 的实数根，求证：对于 定义域中任意的 ，当 ，且 时， ．
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试
数学试题（理科）参考答案2007.11
一、选择题：
题号
1、解析： ，N＝ ，
即 ．答案： ．
2、解析：由题意得 ，又 ．
答案： ．
3、解析：程序的运行结果是 ．答案： ．
4、解析：与直线 垂直的切线 的斜率必为4，而 ，所以，切点为 ．切线为 ，即 ，答案： ．
5、解析：由一元二次方程有实根的条件 ，而 ，由几何概率得有实根的概率为 ．答案： ．
6、解析：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以 正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以 正确；
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以 也正确；
只有 选项错误．答案： ．
7、解析：由题意，得 ，答案： ．
8、解析： 的图象先向左平移 ，横坐标变为原来的 倍 ．答案： ．
二、题：
题号
9、解析：若 ，则 ，解得 ．
10、解析：由题意 ．
11、解析：
12、解析：令 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
…，所以 ．
13、解析： ： ；则圆心坐标为 ．
： 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 ，所以要求的最短距离为 ．
14、解析：由柯西不等式 ，答案： ．
15、解析：显然 与 为相似三角形，又 ，所以 的面积等于9cm ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、解: (Ⅰ) , ……………………… 2分
∴ ，………………………………………………… 4分
解得 ．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由 ,得： , ……………………… 8分
∴ ………………………………… 10分
∴ ．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1） … 2分
则 的最小正周期 ， …………………………………4分
且当 时 单调递增．
即 为 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分
（2）当 时 ，当 ，即 时 ．
所以 ． …………………………9分
为 的对称轴． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 ，………………………2分
∵“两球恰好颜色不同”共 种可能，…………………………5分
∴ ． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为 ．………………………………5分
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 ． ……………………………7分
（Ⅱ）设摸得白球的个数为 ，依题意得：
， ， ．…………10分
∴ ，……………………………………12分
．……………………14分
19、(Ⅰ)证明: 连结 ， 与 交于点 ，连结 .………………………1分
是菱形, ∴ 是 的中点. ………………………………………2分
点 为 的中点, ∴ . …………………………………3分
平面 平面 , ∴ 平面 . ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面 , 平面 ,∴ .
，∴ . …………………………… 7分
是菱形, ∴ .
，
∴ 平面 . …………………………………………………………8分
作 ，垂足为 ，连接 ，则 ,
所以 为二面角 的平面角. ………………………………… 10分
,∴ ， .
在Rt△ 中, = ，…………………………… 12分
∴ .…………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ………………………… 14分
解法二：如图，以点 为坐标原点，线段 的垂直平分线所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，令 ，……………2分
则 ， , ．
∴ ． ……………4分
设平面 的一个法向量为 ,
由 ，得 ，
令 ，则 ，∴ . …………………7分
平面 , 平面 ,
∴ . ………………………………… 8分
，∴ .
是菱形,∴ .
，∴ 平面 .…………………………… 9分
∴ 是平面 的一个法向量, ．………………… 10分
∴ ，
∴ ， …………………… 12分
∴ ．…………………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ……………………… 14分
20、解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设 的方程为 ,即 ,代入抛物线方程得: ,设 ，
有 , ………………………………2分
则 . ……………………4分
故 …6分
, ………… 7分
因此 . ………………………………… 8分
据等差, , …………… 10分
所以 ，即 , ，…………… 12分
即： 方程为 或 . …………………14分
21、解：
（1）因为 ， …………………………2分
所以 ，满足条件 . …………………3分
又因为当 时， ，所以方程 有实数根 ．
所以函数 是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假设方程 存在两个实数根 ），
则 ，……………………………………5分
不妨设 ，根据题意存在数
使得等式 成立， ………………………7分
因为 ，所以 ，与已知 矛盾，
所以方程 只有一个实数根；………………………10分
（3）不妨设 ，因为 所以 为增函数，所以 ，
又因为 ，所以函数 为减函数， ……………………11分
所以 ， ………………………………12分


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