高三数学试卷[1]

高三数学试卷（文）
满分150分 考试时间120分钟
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A1,0,1，集合Bx24，则AxB等于 ( )
A．1,0,1 B． 1 C．1,1 D．0,1
a2ai0，则a的值为 ( ) 2.设i是虚数单位，若复数z1i
A．0或1 B．0或1 C．1 D．1
3.

已知命题p:x0R,sinx0命题q:xR,x2x10.则下列结论正确的是 ( )
A．命题是pq假命题 B. 命题是pq真命题
C．命题是(p)(q)真命题 D．命题是(p)(q)真命题
4. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a

2，bA面积为( )
A

．

B

． C

．

D

6，则ABC的
ˆ0.76x71. 5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y
x
y 98 2 99 3 100 101 102 8 5 m
则实数m的值为 ( )
A．6.8
6. 在区域 B．7 C．7.2 D．7.4 0x1内任意取一点P(x,y) ，则x2y21的概率是( ) 0y1
2424 A. B. C. D. 44447. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B.2 C.3 D.4
俯视图
7题图

侧视图 8题图
8. 执行如图的程序框图，如果输入的alog32,blog52,clog23，那么输出m的值是 ( )
A.log52 B. log32 C.log23 D.都有可能
9. 已知函数①ysinx

cosx，②yxcosx，则下列结论正确的是( )
A. 两个函数的图象均关于点(
4,0)成中心对称
B. 两个函数的图象均关于直线x
C. 两个函数在区间(4对称 ,)上都是单调递增函数 44
D. 可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像 4
10. 已知直角ABC中，斜边AB6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则(PAPB)PC的最小值为( ) 99 Ｂ.  Ｃ．2 Ｄ．2 22
11. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C

直线l与双曲线C交于A,B两点，A. 线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y2px(p0)上，且M到抛物线焦点的距离
为p，则直线l的斜率为（ ）
31 Ｃ．1 Ｄ． 22
f(x)12. 设函数f(x)x32ex2mxl

lnx，记g(x)，若函数g(x)至少存在一个零点，xA． 2 Ｂ．
则实数m的取值范围是( )
A

B

C

第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线yx(2lnx1)在点(1,1)处的切线方程为.
x2y2
14. 已知过双曲线221右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲ab
线的离心率e的取值范围是 .
15.设直线x2y10的倾斜角为,则cossin2的值为. 2
16.已知函数f(x)为R上的增函数，函数图像关于点(3,0)对称，若实数x,y满

足f(x29)f(y22y)0，则y的取值范围是 . x
三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）已知an为等差数列，数列bn满足对于任意nN，点(bn,bn1)
在直线y2x上，且a1b12，a2b2.
(1) 求数列an与数列bn的通项公式；
(2)若 cn
anbnn为奇数，n为偶数，求数列cn的前2n项的和S2n.18. （本小题满分12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数按区间[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4[.65.,55,.75.)5]（千元）进行分组，得到如下统计图：
(1) 求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；
(2)若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5,4.5)与
[5.5,6.5)的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2
人，求2人的承受能力不同的概率.
19. （本小题满分12分）如图1，ABC，ABAC4，BAC
2
，D为BC的中点，3
DEAC,沿DE将CDE折起至C'DE，如图2，且C'在面ABDE
上的投影恰好是E，连接C'B，M是
C

1
C'B上的点，且C'MMB.
2
(1)求证：AM∥面C'DE； (2)求三棱锥C'AMD的体积.
图1
E
x2y2
20. （本小题满分12分）设椭圆M:2

直线l:x1a的右焦点为F1，
a2
a2a22
O为坐标原点）与x轴交于点A，若OF． 12AF10（其中
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N:x2y21的任意一条直径（E、F为
2
直径的两个端点），求的最大值． 21．（本小题满分12分）设函数f(x)
x
ax． lnx(1)若函数f(x)在(1,)上为减函数，求实数a的最小值；
(2)若存在x1,x2[e,e2]，使f(x1)f(x2)a成立，求正实数a的取值范围．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在ABC中，ABC90，以AB为直径的圆O
交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于
点M.
(1)求证： DE是圆O的切线； OB (2)求证：DEBCDMACDMAB.
23.（本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程
x2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为y62t2(t为参数).在极坐标系（与直角2t2
坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为10cos．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(2,6)，求|PA||PB|．
24.（本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲 已知函数f(x)m-|x-2|，mR，且f(x2)0的解集为[1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a,b,cR，且
111m，求 za2b3c 的最小值. a2b3c数 学(文科) 答 案

13.xy20 14. 1e 15.
16. 5
17. （本小题满分12分）解：(1)由点(bn,bn1)在直线y2x上，有
bn1
2，所以数列bnbn
是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列bn的通项公式为bn2n， 3分 又a1b12，a2b24，则da2a1422，所以数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，即数列an的通项公式为an2n； 6分
an
(2) cn
bn
所以S2n
n为奇数，n为偶数，
n(24n2)4(14n)
 (a1a3a2n1)(b2b4b2n)
214
4
2n2(4n1) 12分
3
18. （本小题满分12分）解：(1)由0.10.10.140.45a1，所以a0.21， 2分
平均承受能力x30.140.1450.4560.2170.15.07， 即城市居民的平均承受能力大约为5070元； 5分
(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人, 即[3.5,4.5)组中抽2人与[5.5,6.5)抽3人,
5设[3.5,4.5)组中两人为A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为B1,B2,B2,从这人中随机取2人,有
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10中,符合两人承受能力不同的
有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3共6中,所以所求概率为Pɧ

01;
63
. 12分 105
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19. （本小题满分12分）(1) 证明：过M作MN∥C'D,交BD于N,连接AN，
1于是DNNB，又ABAC4，
22
，D为BC

的中点，所以BAC3
CM
N
E
NB
A
2
，
B30
，由
C
图1
N
2
AB22N
Bc
，得到,所以ANB120，得AN∥oAsB3ANN

0ED,所以面AMN∥面C'DE,即AM∥面C'

DE；（注：可以在翻折前的图形中证明AN∥ED） 6分
111
C'MMB，VC'AMDVBAMDVMABD，又C'E面ABD，所以M到平

(2)
222
面ABD的距离h2，SABD

，

所以VMABD
1，即得三棱

锥2
3C'AMD的体积为
12分

20. （本小题满分12分）解：（1）由题设知，A2

，F1
由OF1



2AF1

02解得a26
x2y2
1 4分 所以椭圆M的方程为62
(2)设圆N:x2y21的圆心为N，
2
则PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NPNFNP1 从而求PEPF的最大值转化为求的最大值．
2
222
xy22
因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0,y0)所以001，即x063y0．
62
22

因为点N0,2，所以NPx0y022y0112

2
2
2
2
因为y0[，所以当y01时，NP取得最大值12 所以的最大值为11 12分
21．（本小题满分12分）解：(1)由已知得x0,x1． 因f(x)在1，+上为减函数，故fx所以当x1，+时，fxmax0．

2分
2
lnx1
lnx
2
，+上恒成立． a0在1
111
，即xe2时，fxmaxa． lnx24111
所以a0于是a，故a的最小值为． 4分
444
当
(2)命题“若存在x,x[e,e

2] ，使fx1fx2a成立”等价于“当x1,x2e,e2时，
12有

f(x1)minf(x2)maxa．
11
a，∴fxmaxa． 44
1
问题等价于：“当x[e,e2]时，有fxmin”． 6分
4
1
①当a时，由（1），f(x)在[e,e2]上为减函数，
4
由(1)，当x[e,e2]时，fxmax则fxmin
e2111
feae2，故a2． 8分
24e24
2
②当a<
1111'
)2a在[e,e2

]时，由于f(x)(
4lnx24'
（?）a0，即a0，f(x)0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)minf(e)eaee
1
，矛盾． 10分 4
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DMBCAC,DMABDM(ACAB)DM(2OD2OF)2DMDFOABCOE2DBBODAAEOEODDEBCDMAC2ABOBCEODBODFDABF2DEDBAC2ODAB2OFDMDFDE2DBDM2DE
1OD//2AC
（?）a0，即0a
1
，由f'(x)的单调性和值域知， 4
存在唯一x0(e,e2)，使f(x0)0，且满足：
当x(e,x0)时，f'(x)0，f(x)为减函数；当x(x0,e2)时，f'(x)0，f(x)为增函数； 所以，fmin(x)f(x0)
x01
ax0，x0(e,e2) lnx04
所以，a
11111111
，与矛盾． 0a
4lnx04x0lne24e244
11
2 12分 24e
是
的中点，点
是
的中点，
综上，得a
22.（本小题满分10分） 解：(1)连结OE.∵点∴
，∴ABOD，AEOEOD.∵，∴
，∴
，

.在，
∴
O
EOD和BOD中，
∵
OEOBEODBOD
OEDOBD90，即OEED.∵E是圆O上一
点，∴DE是圆O的切线. 5分 (2)延长DO交

圆O于点.∵≌
. ∵DE,DB是圆
，∴
C
.∵点是的中点，∴
. ∵
O的切线，∴DEDB.∴
，
∴圆
的切线， 是圆
的割线，∴
，∴
.∵是
10分
23.（本小题满分10分）
解：(1)由10cos得xy10x0，即(x5)y25. 5分
2
2
2
2
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3
2222t)(6t)25. 22
即t292t200，由于(92)2420820，可设t1,t2是上述方程的两个实根.
t1t292
所以，又直线l过点P(2,6)，
t1t220
可得：|PA||PB||t1||t2|(t1)(t2)(t1t2)92. 10分 24.（本小题满分10分）
解：(1)因为f(x2)m|x|， f(x2)0等价于|x|m， 由|x|m有解，得m0，且其解集为x．
又f(x2)0的解集为[1,1]，故m1. 5分 (2)由(1)知
1111，又a,b,cR，由柯西不等式得

a2b3c
∴za2b3c 的最小值为9 . 10分

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