高二数学选修复习测试题（有答案）

（范围：选修2-2—选修2-3概率满分：150分时间：120分钟）
第Ⅰ卷（共50分）
一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题目要求.请将答案填涂在答题卡上）
1． 与 是定义在R上的两个可导函数，若 , 满足 ，则 与 满足（）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
2．如右上图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）
A．288种B．264种
C．240种D．168种
3．在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等，且满足：
①如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；
②如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高。
则三人中成绩最低的是（）
A．甲B．乙C．丙D．不能确定
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处
5．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ， ，其中 ，且 ，下面正确的运算公式是（　　）
① ；② ；
③ ；④ ；
A．①③B．②④C．①④D．①②③④
6．如右图，在平面内两两等距离的一簇
平行直线，任意相邻两平行直线间的距离
为d(d＞0)，向平面内任意抛掷一枚长为l
(l＜d)的小针，已知小针与平行线相交的概
率P等于阴影面积与矩形的面积之比，则
P的值为（）
A． B．
C． D．
7．右图中的阴影部分由底为 ，高为 的等腰三角形及高
为 和 的两矩形所构成．设函数 是右
图中阴影部分介于平行线 及 之间的那一部分的
面积，则函数 的图象大致为（）
8．若 的值域为[1，9]，则a2+b2?2a的取值范围是（）
A．[8，12]B． C．[4，12]D．[2，2 ]
9．某单位安排7位员工在五一黄金周（5月1日至7日）值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的A、B排在相邻两天，C不排在5月1日，D不排在5月7日，则不同的安排方案共有（）
A．504种B．1008种C．960种D.1508种
10．给出下列三个命题：
①函数 与 是同一函数；
②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数是 与 的图像也关于直线 对称；
③若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数。
其中真命题是（）
A．①②B．①③C．②D．②③
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确的答案填写在答题纸上）
11．若复数 =。
12． ，
，
，
，
…………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 ， ．
13．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。
14．在（x+ ） 的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
15．已知定义域为 的函数 满足：①对任意 ，恒有 成立；当 时， 。给出如下结论：
①对任意 ，有 ；
②函数 的值域为 ；
③存在 ，使得 ；
④“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是“存在 ，使得 ”。
其中所有正确结论的序号是。
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（本题满分13分）
已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 ， ，且 （ 为虚数单位）， .
（1）试用含b的式子表示 ， ；
（2）求实数 的值．
17．（本题满分13分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.
18．（本题满分12分）
设函数
（I）若对定义域的任意 ，都有 成立，求实数b的值；
（II）若函数 在定义域上是单调函数，求实数 的取值范围；
（III）若 ，证明对任意的正整数n，不等式 都成立.
19．（本题满分13分）
在中学阶段,对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容。
现设集合 由全体二元有序实数组组成,在 上定义一个运算,记为 ,对于 中的任意两个元素 , ,规定: .
(1)计算: ;
(2)请用数学符号语言表述运算 满足交换律,并给出证明;
(3)若“ 中的元素 ”是“对 ,都有 成立”的充要条件,试求出元素 .
20．（本题满分14分）
设复数 与复平面上点 对应.
（1）若 是关于 的一元二次方程 （ ）的一个虚根，且 ，求实数 的值；
（2）设复数 满足条件 （其中 、常数
），当 为奇数时，动点 的轨迹为 .当 为偶数时，动点 的轨迹为 .且两条曲线都经过点 ，求轨迹 与 的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹 上存在点 ，使点 与点 的最小距离不小于 ，求实数 的取值范围.
21．（本题满分15分）
已知函数 在（0，1）上是增函数.
（1）求实数a的取值集合A；
（2）当a取A中最小值时，定义数列 满足： ，且 为常数），试比较 的大小；
（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C，使 对一切 恒成立？
高二数学（选修2-2、2-3）参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题
1—5：BDCAD6—10：ACCBD
第Ⅱ卷
二、题
11、 12、
13、108014、615、①②④
三、解答题
16．（本题满分13分）
解：由题设，得 ， ，（6分）
方程 的两虚根为 ， ，
于是 ，（9分）
由 ，得 或 ．（13分）
17．（本题满分13分）
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为310，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为310×310×310＝271000.（6分）
（2）设Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)＝C17C23C310＝740，P(A3)＝C33C310＝1120，因而所求概率为P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝740＋1120＝1160.（13分）
18．（本题满分12分）
解：（1）由x+1＞0得x＞?1∴f(x)的定义域为(-1，+∞).
对x∈(-1，+∞),都有f(x)≥f(1).
∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/(1)=0.
解得b=-4.-----------------------4分
（2）∵ .
又函数f(x)在定义域上是单调函数∴f/(x)≥0或f/(x)≤0在(-1，+∞)上恒成立.
若f/(x)≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在(-1，+∞)上恒成立.
即b≥-2x2-2x= 恒成立,由此得b≥ .---------------------6分
若f/(x)≤0,∵x+1＞0,∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x)在(-1，+∞)上没有最小值.
∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立.
综上所述，实数b的取值范围是 .--------------------------8分
（3）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)
令函数h(x)=f(x)?x3=x2?ln(x+1)?x3.
则h/(x)=-3x2+2x- .
∴当 时，h/(x)＜0所以函数h(x)在 上是单调递减.-----------10分
又h(0)=0，∴当 时，恒有h(x)＜h(0)=0,
即x2?ln(x+1)＜x3恒成立.故当 时,有f(x)＜x3.
∵ 取 则有 ＜ .
∴ .--------------12分
19．（本题满分13分）
解:(1) ⊙ .
(2)交换律: ,证明如下:
设 , ,则 ,
= = .
∴ .
(3)设 中的元素 ,对 ,都有 成立,
由(2)知只需 ⊙ ,即 ⊙
①若 ,显然有 ⊙ 成立;
②若 ,则 ,解得 ,
∴当对 ,都有 成立时,得 或 ,
易验证当 或 时,有对 ,都有 成立
∴ 或
解：（1） 是方程的一个虚根，则 是方程的另一个虚根，……………………………2分
则 ，所以 ……………………………………………2分
（2）方法1：①当 为奇数时， ，常数 ），
轨迹 为双曲线，其方程为 ；…………………………………1分
②当 为偶数时， ，常数 ），
轨迹 为椭圆，其方程为 ；………………………………2分
依题意得方程组 解得 ，
因为 ，所以 ，
此时轨迹为 与 的方程分别是： ， .……………………2分
方法2：依题意得
…………………………………………2分
轨迹为 与 都经过点 ，且点 对应的复数 ，
代入上式得 ，……………………………………………1分
即 对应的轨迹 是双曲线，方程为 ；
对应的轨迹 是椭圆，方程为 .……………………2分
(3）由（2）知，轨迹 ： ，设点 的坐标为 ，
则 ， ………………………………………2分
当 即 时，
当 即 时，
，………………………………2分
综上 或 .……………………………………………………………1分
21．（本题满分15分）
解：（1）设
由题意知： ，且
（4分）
（注：法2： 恒成立，求出 ）.
（2）当a=3时，由题意：
以下用数学归纳法证明： 恒成立.
①当n=1时， 成立；
②假设n=k时， 成立，那么当 时，
，由①知
在（0，1）上单调递增， ，
由①②知对一切 都有 （7分）
而 （9分）
（3）若存在正实数c，使 恒成立（10分
令 上是减函数，
增大，而小，


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