向量的数量积

M
2.4 向量的数量积（3）

一、课题：向量数量积（3）
二、目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3． 轴上单位向量 ， 轴上单位向量 ，则： ， ， ．

（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，则 ，
∴ .
从而得向量数量积的坐标表示公式： ．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度： ? ；
②两点间的距离公式：若 ，则 ；
③夹角： ；
④垂直的充要条件：∵ ，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1 设 ，求 ．
解： ．
例2 已知 ，求证 是直角三角形。
证明：∵ ，
∴ ∴
所以， 是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图，以原点和 为顶点作等腰直角 ，使 ，
求点 和向量 的坐标。
解：设 ，则 ， ，
∵ ， ∴ ，
即： ，
又∵ ， ∴ ， 即： ，
由 或 ，
∴ ， 或 ， ．
例4 在 中， ， ，求 值。
解：当 时， ， ∴ ∴ ，
当 时， ， ，
∴ ∴ ，
当 时， ，∴ ∴ ．
五、课堂练习 课本 练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业： 课本习题
补充：已知 ， ，
（1）求证： （2）若 与 的模相等，且 ，求 的值。


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