高一数学上册寒假练习题(含答案)

高一数学寒假作业四
一.（每小题3分,共计30分）
1.设全集U=R,集合M= ,P= ,则下列关系中正确的是
A．M=P B． C． D．
2.函数 的定义域为
A. B. C. D.
3.下列四个函数中,在 上为增函数的是
A. B. C. D.
4.下列函数中,定义域与值域相同的是
A. B. C. D.
5.设 ,在下列各图中,能表示从集合 到集合 的映射的是
A B C D
6．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为（ ）
A． B．56πC．14πD．64π
7．棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱.侧面积.体积时,相应的截面面积分别为S1.S2.S3,则（ ）
A．S18．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的,且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．设地球半径为R,在北纬30°圈上有甲.乙两地,它们的经度差为120°,那么这两地间的纬线之长为（ ）
A． πRB． πRC．πRD．2πR
10．如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是（ ）
二.题（每小题4分,共计24分）
11.
12.若函数 是偶函数,则 的递减区间是
13.若幂函数 的图象过点 ,则 的值为
14.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.
15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝,B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝,其中r＞0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是______________.?
16.α.β是两个不同的平面,m.n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:_______________
三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17.设 , ,求：
（1） ； （2） .
18.已知函数
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象 ；
（3）写出该函数的值域.
19. 如图8－12,球面上有四个点P.A.B.C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.
20.如图7-15,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,各棱长都等于a,D.E分别是AC1.BB1的中点,
（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度；
（2）求二面角E?AC1?C的大小；
（3）求点C1到平面AEC的距离.
高一数学寒假作业四参考答案
一、（每小题3分,共计30分）
1-5 CBCDD 6-10 CADAB
二.题（每小题4分,共计24分）
11. 12. 13. 14.2 15.3或7 16. 或
三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17.解：
（1）又 ,∴ ；
（2）又 ,
得 .
∴
18. （2）略 +7分 （3）
19.解 如图8－12,设过A.B.C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P?ABC中,
∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理,得 =2r,∴r= a.
又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC,
∴P.O.O′共线,球的半径R= .又PO′= = = a,
∴OO′=R － a=d= ,(R－ a)2=R2 ? ( a)2,解得R= a,
∴S球=4πR2=3πa2.
注 本题也可用补形法求解.将P?ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R= a,下略
20.如图7-15,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,各棱长都等于a,D.E分别是AC1.BB1的中点,
（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度；
（2）求二面角E?AC1?C的大小；
（3）求点C1到平面AEC的距离.
解 （1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1.CC1于F.G,则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1,
∴△EFG为正三角形,D为FG的中点,ED⊥FG.
连AE, ∵D.E分别为 的中点,
∴ .又∵面EFG⊥BB1,
∴ED⊥BB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE= a.
（2）∵AC=CC1,D为AC1的中点,∴CD⊥AC1,又由（1）可知,ED⊥AC1,∴∠CDE为二面角E?AC1?C的平面角,计算得∠CDE=90°.或由（1）可得DE⊥平面AC1,∴平面AEC1⊥平面AC1,∴二面角E?AC1?C为90°.


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