第3章 不等式 综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)
一、(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2
C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b
解析：选C.A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；B中，当a＝0＞b＝－1时，a2＝0＜b2＝1，所以B不正确；D中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D不正确．很明显C正确．
2．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选B.M－N＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)
＝a2≥0.
3．当x≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－13 B．a≤－1
C．－1
解析：选C.y＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数，在[－1,1]上具有单调性，因此只需当x＝－1和x＝1时的函数值互为相反数，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)<0，解这个关于a的一元二次不等式，得－1
4．二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x－1
A．－6 B．6
C．－5 D．5
解析：选B.由题意a<0，－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴－1＋13＝－ba－1×13＝1a，
∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.
5．已知全集U＝R，且A＝{xx－1＞2}，B＝{xx2－6x＋8＜0}，则(?UA)∩B等于( )
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
解析：选C.A＝{xx＞3或x＜－1}，B＝{x2＜x＜4}，
∴?UA＝{x－1≤x≤3}，则(?UA)∩B＝{x2＜x≤3}．
6．函数y＝3xx2＋x＋1(x＜0)的值域是( )
A．(－1,0) B．[－3,0)
C．[－3,1] D．(－∞，0)
解析：选B.y＝3x＋1x＋1，∵x＜0，
∴－x＞0且y＜0，
∴x＋1x＝－(－x＋1－x)≤－2，
∴y＝3x＋1x＋1≥－3，当且仅当x＝－1时等号成立．
7．当x≥0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4)
C．[10，＋∞) D．(1,10]
解析：选B.用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x2－6x＋15>0，即5x2＋6x－15<0，当x≥0时，不恒成立，排除C，D，取a＝0，不等式为5x2－6x＋5>0，当x≥0时，恒成立，排除A.故选B.
8．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则( )
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜1 D．ab＞2
解析：选A.∵0＜α＜β＜π4，
∴0＜2α＜2β＜π2且0＜sin 2α＜sin 2β，
∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，
b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，
∴a2－b2＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，
＝sin2α－sin2β＜0，
∴a2＜b2.
又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，
∴a＜b.
9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为( )
解析：选B.用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：
x＋2y＋1＞0x－y＋4＜0或x＋2y＋1＜0x－y＋4＞0.
10．若a>0，b>0，则不等式－b<1x
A．－1b
B．－1a
C．x<－1a或x>1b
D．x<－1b或x>1a
解析：选D.按照解分式不等式的同解变形，
得－b<1x
01x－a<0
?1＋bxx>01－axx<0
?x?bx＋1?>0x?1－ax?<0
?x>0或x<－1b，x>1a或x<0
?x<－1b或x>1a.
法二：数形结合法，画出函数f(x)＝1x的图象，函数f(x)＝1x的图象夹在两条直线y＝－b，y＝a之间的部分的x的范围即为所求．
11．对一切实数x，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：选A.当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；当x≠0时，a≥－x2＋1x＝－(x＋1x)＝f(x)，问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.
12.函数y＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)>f(－x)＋x的解集为( )
A.－1，－255∪(0,1]
B．[－1,0)∪0，255
C.－1，－255∪0，255
D.－1，－255∪255，1
答案：C
二、题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)
13．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．
解析：因为点P(x，y)在直线y＝4－2x上运动，所以2x＋y＝4,9x＋3y＝32x＋3y≥232x?3y＝232x＋y＝234＝18.当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时，等号成立．所以当x＝1，y＝2时，9x＋3y取得最小值18.
答案：18
14．已知不等式axx－1＜1的解集为{xx＜1或x＞2}，则a＝________.
解析：原不等式可化为?a－1?x＋1x－1＜0?(x－1)[(a－1)x＋1]＜0，
∵此不等式的解集为{xx＜1或x＞2}，
∴a－1＜0且－1a－1＝2，∴a＝12.
答案：12
15．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是________．
解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是[13，2]，即yx∈[13，2]，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈[13，2]上单调递增得u∈[－83，32]．
答案：[－83，32]
16．已知点A(53，5)，过点A的直线l：x＝my＋n(n>0)，若可行域x≤my＋nx－3y≥0y≥0的外接圆的直径为20，则实数n的值是________．
解析：由题意可知，可行域是由三条直线x＝my＋n(n>0)、x－3y＝0和y＝0所围成的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分．又知直线x－3y＝0过点A(53，5)，
所以OA＝10，外接圆直径2R＝20.
设直线l的倾斜角为α，
则由正弦定理，得10sin?π－α?＝20，
所以sinα＝12，tanα＝±33.
由tanα＝1m，得1m＝±33，即m＝±3.
将点A(53，5)代入直线x＝±3y＋n，
得53＝±3×5＋n，解得n＝103，n＝0(舍去)．
答案：103
三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知a>0，b>0，且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．
解：∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a
＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)
＝(a2－b2)a－bab＝?a－b?2?a＋b?ab，
又∵a>0，b>0，a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴(a2b＋b2a)－(a＋b)>0，∴a2b＋b2a>a＋b.
18．求z＝3x－2y的最大值和最小值，式中的x，y满足条件4x－5y＋21≥0，x－3y＋7≤0，2x＋y－7≤0.
解：作出可行域如图
作一组与3x－2y＝0平行的直线l，当l过C时，z最大，l过B时，z最小．
又4x－5y＋21＝0x－3y＋7＝0，得B(－4,1)；
x－3y＋7＝02x＋y－7＝0，得C(2,3)．
所以zmax＝3×2－2×3＝0，zmin＝3×(－4)－2×1＝－14.
19．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12]成立，求a的取值范围．
解：法一：若－a2≥12，即a≤－1时，则f(x)在(0，12]上是减函数，应有f(12)≥0?－52≤a≤－1；
若－a2≤0，即a≥0时，则f(x)在[0，12]上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；
若0≤－a2≤12，即－1≤a≤0，则应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1≤a≤0；
综上，有a≥－52.
法二：原不等式x2＋ax＋1≥0可化为a≥－(x＋1x)，
设g(x)＝－(x＋1x)，因为g(x)在(0，12]内单调递增，所以g(x)在(0，12]内的最大值是g(12)＝－52，要使不等式恒成立当且仅当a≥－52.
20．(2014年福州高二检测)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．
目标函数为z＝x＋0.5y，
约束条件为：4x＋y≤1018x＋15y≤66x≥0，x∈Ny≥0，y∈N，
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．
解方程组4x＋y＝1018x＋15y＝66得：M点坐标为(2,2)．
所以zmax＝x＋0.5y＝3.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
21．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
解：原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，
整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)，
∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴当0当x＝4时，x2－4x＝0，∴S1＝S2.
当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当0当x＝4时，草地面积不变，
当x>4时，草地面积减少．
22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤18(x＋2)2成立．
(1)证明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；
(3)设g(x)＝f(x)－m2x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：由条件知：
f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.
(2)因4a＋2b＋c＝24a－2b＋c＝0，
∴4a＋c＝2b＝1.
∴b＝12，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(12－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝18，b＝12，c＝12.
∴f(x)＝18x2＋12x＋12.
(3)由分析条件知道，只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线y＝m2x＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置，
于是：y＝18x2＋12x＋12，y＝m2x＋14.
利用相切时Δ＝0，解出m＝1＋22，
∴m∈(－∞，1＋22)．
另解：g(x)＝18x2＋(12－m2)x＋12>14在x∈[0，＋∞)必须恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，
①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.
解得：1－22②Δ≥0，－2?1－m?≤0，f?0?>0.解得：m≤1－22，
综上m∈(－∞，1＋22)．
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