2.2.1对数与对数运算

目标
（一）知识点
1．对数的概念；2．对数式与指数式的互化．
（二）能力训练要求
1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．
（三）德育渗透目标
1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；
３．了解对数在生产、生活实际中的应用．
教学重点
对数的定义．
教学难点
对数概念的理解．
教学过程
一、复习引入：
假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
=2 x=?
也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？
二、新授内容：
定义：一般地，如果 的b次幂等于N,就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数．

例如： ； ；
； ．
探究：1。是不是所有的实数都有对数？ 中的N可以取哪些值？
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N＞0）
2．根据对数的定义以及对数与指数的关系， ？ ？
⑵ ， ；
∵对任意 且 ,都有 ∴ 同样易知：
⑶对数恒等式
如果把 中的b写成 ,则有 ．
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N的常用对数 简记作lgN．
例如： 简记作lg5； 简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数 简记作lnN．
例如： 简记作ln3； 简记作ln10．
（6）底数的取值范围 ；真数的取值范围 ．
三、讲解范例：
例1．将下列指数式写成对数式：
（1） （2） （3） (4)
解：（1） 625=4；（2） =-6；（3） 27=a；（4） ．
例2．将下列对数式写成指数式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解：（1） （2） =128；（3） =0.01；（4） =10．
例3．求下列各式中的 的值：
（1） ；（2） （3） （4）
例4．计算：⑴ ，⑵ ，⑶ ，⑷ ．
解法一：⑴设 则 ,∴
⑵设 则 , ,∴
⑶令 = ,∴ ,∴
⑷令 ,∴ , ,∴
解法二：
⑴ ；⑵
⑶ = ;⑷
四、练习：(书P64`)
1.把下列指数式写成对数式
(1) ＝８；（２） ＝32；（３） ＝ ；　（４） ．
解：(1) ８＝３(2) 32＝５(3) ＝－１(4) ＝－
2.把下列对数式写成指数式
(1) ９＝２⑵ １２５＝３⑶ ＝－２⑷ ＝－４
解：(1) ＝９(2) ＝１２５(3) ＝ (4) ＝
3.求下列各式的值
(1) 25⑵ ⑶ 100
⑷ 0.01⑸ 10000⑹ 0.0001
解：(1) 25＝ ＝２(2) ＝－４(3) 100＝２
(4) 0.01＝－２(5) 10000＝４(6) 0.0001＝－４
4.求下列各式的值
(1) 15⑵ 1⑶ 81⑷ 6.25⑸ 343⑹ 243
解：(1) 15＝１(2) 1＝０(3) 81＝２
(4) 6.25＝２(5) 343＝３(6) 243＝５
五、课堂小结
⑴对数的定义；⑵指数式与对数式互换；⑶求对数式的值．
2.2.1对数与对数运算（二）
教学目标
（三）教学知识点
对数的运算性质．
（四）能力训练要求
1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质；2.理解对数运算性质的推倒过程；
3．熟悉对数运算性质的内容；4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；
5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别．
（三）德育渗透目标
1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；2．用联系的观点看问题．
教学重点
证明对数的运算性质．
教学难点
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．
教学过程
一、复习引入：
1．对数的定义 其中 与
2．指数式与对数式的互化

3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；⑵ ，
⑶对数恒等式
4．指数运算法则
二、新授内容：
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，a?1，M＞0，N＞0有：

证明：①设 M=p, N=q．由对数的定义可以得：M= ，N= ．
∴MN= = ∴ MN=p+q，即证得 MN= M+ N．
②设 M=p， N=q．由对数的定义可以得M= ，N= ．
∴ ∴ 即证得 ．
③设 M=P由对数定义可以得M= ,
∴ ＝ ∴ =np，即证得 =n M．
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．
①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……
②有时逆向运用公式：如 ．
③真数的取值范围必须是 ：
是不成立的．
是不成立的．
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
， ．
2．讲授范例：
例1．用 ， ， 表示下列各式：
．
解：（1） = （xy）- z= x+ y- z
（2） = （
= + =2 x+ ．
例2．计算
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
解：（1） 25= =2 （2） 1=0．
（3） （ ×25）= + = + =2×7+5=19．
（4）lg = ．
例3．计算：
(1) (2)
(3)
说明：此例题可讲练结合.
解：(1) ＝ ＝
＝ ＝ ＝1；
(2) ＝ ＝ ＝2；
(3)解法一：lg14-2lg +lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( ×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．?
解法二：
lg14-2lg +lg7-lg18=lg14-lg +lg7-lg18=lg
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
例4．已知 ， ，求
例5．课本P66面例5.
20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为
M＝lgA－lgA0.
其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).
3．课堂练习：
教材第68页练习题1、2、3题．
4．课堂小结
对数的运算法则，公式的逆向使用．

2.2.1对数与对数运算（三）
教学目标
（五）教学知识点
1．了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；
3．运用对数的知识解决实际问题。
（六）能力训练要求
会用 ， 等变形公式进行化简．
（三）德育渗透目标
培养学生分析问题解决问题的能力．
教学重点
对数换底公式的应用．
教学难点
对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。
教学过程
二、复习引入：
对数的运算法则
如果a＞0，a?1，M＞0，N＞0有：

二、新授内容：
1.对数换底公式： (a＞0,a?1，m＞0,m?1,N＞0)．
证明：设 N=x,则 =N．
两边取以m为底的对数：
从而得： ∴ ．
2.两个常用的推论:
① ， ．
② （a,b＞0且均不为1）．
证：① ；
② ．
三、讲解范例：
例1
练
1.已知 ， ,用a,b表示 ．
解：因为 3=a，则 ,又∵ 7=b,
∴ .
2.求值
例2．设 ，求m的值．
解：∵ ，
　　∴ ，即m＝9．
例3．计算：① ,② ．
解：①原式= ．
②∵ ， ，∴原式＝ ．
例4．P67例6
生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%，
试推算马王堆古墓的年代.
例5．已知 x= ，求x．
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将 c移到等式左端，或者将b变为对数形式．
解法一：由对数定义可知： ．
解法二：由已知移项可得 ，即 ．
由对数定义知： ．
解法三： ．
.
练习：教材P68第4题
三、课堂小结

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