2013年高二数学下册期中检测试卷（沪教版带答案）

高二第二学期数学期中考试试卷
一、题：（每小题3分，共36分）
1、空间不相交的两条直线的位置关系可以为 。
2、若复数 满足： （ 为虚数单位），则其共轭复数 。
3、动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为 。
4、已知： ，则 = 。
5、在正方体 中，直线 与平面 的位置关系是 。（填：平行、垂直、斜交、线在面内）
6、双曲线 （ 为常数）的焦点为 ，则其渐近线方程为 。
7、已知复数 ，若 为纯虚数，则 。
8、如图：平面 外一点P在 内的射影为O， ， 为平面 内两点， 与平面 成300角，且 ，则 平面 所成的正弦值为 。
9、已知点 ，抛物线 的焦点为F，若点P在抛物线上移动，则 取最小值时，P点坐标为 。
10、以下命题中，正确的是 。
① 为空间两个不重合的平面，若平面 内有三个不共线的点到平面 的距离相等，则 ；②有三个角为直角的空间四边形为矩形；③若空间三个平面可以把空间分成 个部分，则 的取值可为4,6,7,8；④两两相交的四条直线最多可以确定6个平面。
11、已知抛物线 ，过抛物线焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于 两点， 的面积为 ，则 。
12、已知正方体 中，点Q在平面 内，且 BCQ是正三角形，点P在侧面 内运动，并且满足PQ=P ，则点P的轨迹为 。（可根据题意在图中取点、添线，并说明）
二、：（每小题3分，共18分）
13、已知空间一条直线 和一个平面 ,若两个点A，B 满足：“ 且 ”，则下面说法正确的是 ( ）
A、直线 在平面 内； B、直线 上只有两点在平面 内；
C、平面 不一定经过直线 ； D、直线 与平面 可能平行。
14、过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 的值为（ ）
A、2； B、3； C、4； D、5。
15、已知 表示两个不同的平面，直线 在平面 内，则“ ”是“ ”的 ( )
A、充分不必要条件 ；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分也不必要条件。
16、双曲线 =1的左焦点为F1，点P为双曲线右支上的一点，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）
A、± B、± C、± D、±
17、在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）。
18、给出下列命题：①若 是两个虚数，则 也为虚数；②若 为虚数，则 ；
③ 为复数，若 ，则 为纯虚数；④若复数 满足： ，则 的取值范围是 。其中，错误的命题有（ ）个。
A、1； B、2； C、3； D、4。
三、解答题：（本大题共5题，46分）
19、简答题：（本题12分，每题6分）
（1）已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 ， ，若实数 满足等式： ，请在复数范围将二次三项式 分解因式。
（2）如图：已知直线 为异面直线， ，试用反证法证明：直线 与 为异面直线。
20、(本题8分，第1题3分，第2题5分)
已知双曲线 ， 为该双曲线的两个焦点。
（1）求 ;
（2） 为双曲线上一点，且 （ 为虚数单位），求 的大小。
21、（本题8分，第1题3分，第2题5分）
设椭圆 两个焦点为 ，经过右焦点 垂直于 轴的直线交椭圆于点 。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 的斜率为2，与椭圆相交于 两点，求弦AB的中点轨迹。
22、（本题10分，第1题4分，第2题6分）
已知正方体 的棱长均为1， 为棱 的中点， 为棱 的中点。
（1）在图中，作出直线 与平面 的交点，保留作图痕迹，勿用铅笔；
（2）求异面直线 与 所成角的大小（用反三角函数表示）。
23、已知抛物线 ， 为抛物线的焦点，点N为抛物线的准线与 轴的交点。某同学在探究“经过N点的直线与抛物线的关系”中，发现以下两个问题：
（1）通过研究过N点斜率为2的直线 ，他发现直线 上存在这样的点P：可以找到一条过P点的直线与抛物线相交于 两点，满足 为BP的中点，他称这样的P点为“ 点”，请你进一步探索：是否上述直线 上所有的点都是“ 点”？说明理由。
（2）该同学又发现：经过N点的直线 与抛物线相交于C、D两点，直线 与 的斜率之和是定值。请你求出该定值，并进一步探索：在 轴上是否存在这样的定点M，对过点N的任意直线 ，如果 与抛物线相交于C、D两点，均能使得 为定值。若存在，找出满足条件的点M；若不存在，则说明理由。
请就以上两个探索问题，选择一个进行解答，满分8分，都答只算第（1）题得分。
考试答案
一、题：
1、异面、平行；2、 ；3、 ；4、 ；5、垂直；6、 ；7、 ；
8、 ；9、 ；10、③④；11、 ；12、取 中点R，P的轨迹即为线段RC。
二、：
13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C
三、解答题：
19、（1）由 ………3分
故： 两根为
所以： ………6分
（2）证明:假设直线 与 共面，设该平面为 。………2分
可知直线 与 在平面 上，所以 ……………4分
即 即直线 为共面直线，与已知 为异面直线矛盾。
故原假设不成立，则直线 与 为异面直线。……………6分
20、解：（1） ………3分
（2） ………4分
。。。。。。。。。。6分
………8分
21、解：(1) ,将 代入，得 。。。。3分
（2）设 ， 中点
。。。。。。。。。。6分
将 代入得：AB中点轨迹为 8分
22、（1）延长DB与 交于点P，P即为所求点。（图略）……………4分
（2）过N点作 交AB于点E，连结CN,CE。
可知 即为异面直线AM、CN所成角。。。。。。。6分。
，可求得
。。。。。。。9分
则 ……………………10分
23、（1）结论：上述直线 上所有的点都是“ 点”………2分
由题意得：直线 ……………3分
设 ，由A为BP中点，可知
由A、B两点在抛物线上，则：
化简得关于 的方程: （*）…………5分
其判别式 恒成立，可知对方程（*）恒有解。即对直线 上所有的点P，存在过P点的直线交抛物线于A、B两点，使得A为BP中点。…………8分
（2）设直线 的斜率为 ，直线 ，直线 与抛物线的交点 ，
…………2分
斜率和为定值0……………4分
如存在满足条件的点M ，使得 为定值


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