2013年高二下册数学理科期末试题(含答案)

一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ，集合 则 = （ ）
A． B． 　　 C. 　　D．
2．设 为虚数单位，若 复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D.
4．设数列 的前 项和为 ，已知首项 ，且对任意正整数 都有 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知 为锐角三角形，若角 终边上一点 的坐标为（ ），则 =
的值为 （ 　）
A． B． C． D．与 的大小有关
6． 给出下列四个命题：
①已知函数 则 的图像关于直线 对称；
②平面内的动点 到点 和到直线 的距离相等，则点 的轨迹是抛物线；
③若向量 满足 则 与 的夹角为钝角；
○4存在 使得 成立，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知点 是曲线 上的任意一点，直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，
若 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8. 若平面直角坐标系中两点 与 满足：○1 、 分别在函数 的图像上；○2 与 关于点（ ）对称，则称点对（ ）是一个“相望点对”（规定：（ ）与（ ）是同一个“相望点对”），函数 与 的图像中“相望点对”的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9. 已知函数 ，
设 且函数 的零点在区间 或 内，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10.在函数 的图像与 轴所围成的图形中，直线 从点 向右平行移动至 ， 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为 ，则 关于 的函数 的图像可表示为（ ）
第II卷
二、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．“求方程 的解”有如下解题思路：设 ，因为 在 上单调递减，且 所以原方程有唯一解为 类比上述解题思路，不等式 的解集为 .
12．随机输入整数 执行如右图所示的程序框图， 则输出的 不小于39的概率为 .
13．已知点 是面积为1的 内一点（不含边界），若
的面积分别为 则 的最小值为 .
14. 若数列 满足： ，
则称数列 为“正弦数列”，现将 这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记 为 ，则二项式 的展开式中含 项的系数为 ．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分.
15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并取相等
的长度单位建立极坐标系，若直线 与曲线 ( 为参数)相交于 两点，则线段 长度为_________.
（2）（不等式选做题）若存在实数 ，使不等式 成立,则实数 的取值范围为_________.
四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在 中，三个内角 所对的边分别为 ，满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小．
17.（本小题满分12分）
某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.
(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；
(2)设 为该参赛者此题的得分，求 的分布列与数学期望.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在边长为3的等边 中，点 分别是边 上的点，且满足 现将 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连结 .
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？
若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知数列 具有性质：○1 为整数；○2对于任意的正 整数 当 为偶数时， 当 为奇数时， ．
（1）若 为偶数，且 成等差数列，求 的值；
（2）若 为正整数，求证：当 时，都有 ．
20.（本小题满分13分）
定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以 为半径的圆 为椭圆 的“准圆”.已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 的“准圆”相切.
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 设点 是椭圆 的“准圆”上的一个动点，过动点 作斜率存在且不为 的两条不同的直线 ， 使得 ， 与椭圆都相切，试判断 与 是否垂直？并说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知函数 ， ，设
（1）求函数 的单调区间；
（2）若以函数 图像上任一点 为切点的切线斜率为 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，对任意的 ，且 ，已知存在 使得 ，求证：
参考答案
1-5 CDBBC 6- 10 CACBD
（9分）
当 即 时， 的最大值为 ，此时
的最大值为 ，取得最大值时， （12分）
17、解：（1） （4分）
的分布列为
（10分）
（12分）
18、解：（1） 等边三角形ABC的边长为3，且 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
，折叠后有 （3分）
二面角 为直二面角， 平面 平面
又 平面 平面 ， 平面 ，
平面 （5分）
（2）假设在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 由（1）证明，
可知 ， ，以 为坐标原 点，以射线 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图过点 作 ，垂足为 ，连接
设 ，则
（7分）
， 的一个法向量为 （9分）
与 所成的角为
，解得 （11分）
，满足 ，符合题意
在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ，此时 （12分）
19、解：（1）设 ， 成等差数列， （2分）
○1当 为偶数时， 此时 （4分）
○1当 为奇数时， 此时
综合上述，可得 的值为 或 （6分）
（2） ， ， （7分）
又由定义可知， ， （9分）
综上可知，当 时，都有 （12分）
（2）由（1）知椭圆 的“准圆”方程为
设点 ，则 （7分）
设经过点 与椭 圆 相切的直线为
联立 消去 ，得
由 ，化简得 （10分）
设直线 的斜率分别为 .
直线 ， 与椭圆 相切
满足方程
，故直线 与 垂直 (13分)
21、解：（1）由题意可知
（1分）
○1当 时， 在 上恒成立 的增区间为
○2当 时，令 得 ；令 得
的增区间为 减区间为
综合上述可得：当 ，增区间为 ；
当 时，增区间为 减区间为 （4分）
在 上是减函数，即 在 上是减函数
要证 ，只需证 ，即证
对任意 ，存在 使得


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