第二章 推理与证明综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[答案] D
[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )
A.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)
B.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)
C.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*)
D.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)
[答案] B
[解析] 记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)．
3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．不是以上错误
[答案] C
[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
[答案] D
[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．－12＜a＜32
D．－32＜a＜12
[答案] C
[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．
(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1
即x2－x－a2＋a＋1>0
不等式恒成立的充要条件是
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0
即4a2－4a－3<0
解得－12
6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
[答案] D
[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0
B．小于0
C．不小于0
D．不大于0
[答案] D
[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.
解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.
8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a、b大小不定
[答案] B
[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，
b＝c－c－1＝1c＋c－1，
因为c＋1>c>0，c>c－1>0，
所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a
9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于( )
A．f(k)＋π2
B．f(k)＋π
C．f(k)＋32π
D．f(k)＋2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得，
sinAa＝sinBb＝sinCc，∴sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系是( )
A．p≥q
B．p≤q
C．p＞q
D．p＜q
[答案] A
若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；
若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；
若a＝b，则pq＝1，
∴p≥q.
12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2014＝( )
x12345
f(x)41352
A.1
B．2
C．4
D．5
[答案] C
[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2014＝x3＝4，故应选C.
二、题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．
[答案] 43πR3′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
14．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1
[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1
f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k
f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.
15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．
[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34
[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.
可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)
＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12
＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12
＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q?M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] 考查理解、分析等学习能力．
①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；
②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b?M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bxa、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥13.
[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥13.
18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cosπ4＝2，
2cosπ8＝2＋2，
2cosπ16＝2＋2＋2，
……
[证明] 2cosπ4＝2?22＝2
2cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222
＝2＋2
2cosπ16＝21＋cosπ82
＝21＋122＋22＝2＋2＋2
…
19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.
(1)求a2、a3、a4；
(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式．
[解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得
an＝2－1an－1，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.
(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得
(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即1an－1－1an－1－1＝1，
所以{1an－1}是等差数列．
由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，
变形得an－1＝22n－1，
所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．
[解析] (1)证法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1
0， 且ax1>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1
＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)
＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2
∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，
f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0
则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0<－x0－2x0＋1<1，即12故方程f(x)＝0没有负数根．
解法2：设x0<0(x0≠－1)
①若－1②若x0<－1则x0－2x0＋1>0，ax0>0，
∴f(x0)>0.
综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负根．
21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，
由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.
∵cosC＝a2＋b2－c22ab，
∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，①
注意到条件：an＋bn＝cn，
于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②
∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，
即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，
从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn
＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，
这说明②式成立，从而①式也成立．
故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．
22．(本题满分14分)(2010?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.
证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.
[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．
解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．
[证明] 先证必要性．
设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则
1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1
＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1
＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1
＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1
＝na1an＋1.
再证充分性．
证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3
两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.
假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式
1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①
1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②
将①代入②，得
k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，
在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.
将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.
由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．
证法2：(直接证法)依题意有
1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①
1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②
②－①得
1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③
同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④
③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，
由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{an}是等差数列．
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