【备考策略】
根据近几年新课标高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：
1．深刻理解集合、集合间的关系、四种命题及其关系，全称量词、特称量词（存在量词）、充要条件、函数等重要概念。
2．熟练掌握解决以下问题的思想方法：
（1）集合的包含与运算关系问题；（2）命题真假的判定与否定问题；（3）充要条件的确认问题；（4）函数图象和性质（单调性、奇偶性、周期性、最值性、对称性）的确定和应用问题；（5）函数的实际应用问题；（6）一元二次不等式的求解与基本不等式的应用问题；（7）含参数的线性规划问题；（8）利用导数研究函数的切线、单调性、极值（最值）、零点问题。
3．特别关注以下便是的热点和生长点
（1）定义新概念、新运算的函数、集合问题；（2）综合度较高的函数图象和性质的选择、填空题；（3）与现实生活热点紧密相关的函数应用题；（4）含有参变量的高次多项式、分式、指数或对数式切线、单调性、极值（最值）、零点问题。
第一讲 集合与常用逻辑用语
【最新考纲透析】
1．集合
（1）集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算。
2．常用逻辑用语
（1）命题及其关系
①理解命题的概念。
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义。
（3）全称量词与存在量词。
①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【核心要点突破】
要点考向一：集合间的包含与运算关系问题
考情聚焦：1.该考向涉及到集合的核心内容，所以在近几年各省市高考中出现的频率非常高，常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题。
2.多以选择、填空题的形式考查，属容易的送分题。
考向链接：解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；
（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
（3）若给定的集合是抽象集合， 用Venn图求解。
例解1:(1)（2010?福建高考文科?Ｔ１）若集合 ， ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
【命题立意】本题主要考查集合的交集运算.
【思路点拨】 画出数轴，数形结合求解，注意临界点的取舍。
【规范解答】选A，由数轴可知： 。
(2)（2010?广东高考文科?Ｔ１）若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A B=
A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝
【命题立意】本题考察集合的基本运算.
【思路点拨】直接用集合并集的定义进行运算.
【规范解答】选 ， ，故选 。
要点考向二：以集合语言为背景的新信息题
考情聚焦：1.该考向由于形式新颖,具有很好的考查学生探究、创新能力的功能，因此特别受命题专家的青睐，而成为近几年很多省市高考中的一大亮点。
2．常与集合相关知识相类比命题，多以选择、填空题的形式出现。
考向链接：以集合语言为背景的新信息题，常见的有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是准确理解新概念或运算，通过对题目的分析，明确所要解决的问题，类比集合的有关定义运算来解决。
例解2: （2010?广东高考文科?Ｔ10）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么d
A．a B．b C．c D．d
【命题立意】本题考查对新定义运算的理解.
【思路点拨】根据所定义的运算法则，先算出 ，再算出 .
【规范解答】选 ， 故选 .
要点考向三：命题真假的判断与否定问题
考情聚焦：1.该类问题具有一题考查多个重要考点的强大功能，从而成为高考的热点。
2.此类问题往往综合性较强，多以选择、填空题的形式出现。
考向链接：1.命题真假的判定方法：
（1）一般命题 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假。
（2）四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律。
（3）形如 、 、 命题真假根据真值根据教材中给定方法判断。
2.命题的否定形式有：
原语句是都是＞至少有一个至多有一个 使 真
否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个 使 假
要严格区分命题的否定与否命题之间的差别。
例解3:给出命题：已知 、 为实数，若 ，则 ．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
【解析】选C 因为 所以原命题为真命题。从而逆否命题亦为真命题；若 ，显然得不出 ，故逆命题为假命题，从而否命题亦为假命题。故在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数为1个。要点考向四：充分条件、必要条件、充要条件的确认与探求问题
要点考向四：充分条件、必要条件、充要条件的确认与探求问题
考情聚焦：1.该考向涉及的是高中数学的一个重要考点，同时该类题目的背景知识丰富，可以是高中数学的任何一个分支，因此一直是各省市高考命题的一个热点。
2.多以选择、填空题的形式考查。
例解3: 是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】选A △＝ －4＜0时，－2＜ ＜2，因为 是“－2＜ ＜2”的必要不充分条件，故选A。
【高考真题探究】
1.（2010?广东高考理科?Ｔ１）若集合A={ -2＜ ＜1}，B={ 0＜ ＜2}则集合A∩B=
A. { -1＜ ＜1} B. { -2＜ ＜1}
C. { -2＜ ＜2} D. { 0＜ ＜1}
【命题立意】本题主要考察集合的概念及运算，考察数形结合的数学思想。
【思路点拨】利用数轴进行求解。
【规范解答】选 。 ，故选
2.（2010?北京高考文科?Ｔ１）集合 ，则 = （ ）
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
【命题立意】本题考查集合的交集运算。
【思路点拨】先用列举法表示出集合P、M，再求 。
【规范解答】选B。因为 ，所以 。
3.（2010?安徽高考文科?Ｔ１）若A= ，B= ，则 =
(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)
【命题立意】本题主要考查集合的运算，考查考生求解一元一次不等式的能力。
【思路点拨】先求集合A、B，然后求交集。
【规范解答】选C，经计算， ， ，故C正确。
4.（2010?天津高考文科?Ｔ5）下列命题中，真命题是 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性。
【思路点拨】根据偶函数的图像关于y轴对称这一性质进行判断。
【规范解答】选A，当 时函数 的图像关于y轴对称，故选A。
5.（2010?天津高考理科?Ｔ3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念。
【思路点拨】原命题“若 则 ”，否命题为“若 则 ”。
【规范解答】选B，明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”。
6.（2010?辽宁高考文科?Ｔ4）已知a＞0,函数 ,若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题，全称命题与特称命题。
【思路点拨】 ,由于a>0,所以 是 的最小值。
【规范解答】选C，由x0满足方程2ax+b=0，可得 ，∵a>0，∴ 是二次函数 的最小值，可判定D选项是真命题，C选项是假命题；存在x= x0时， ,可判定（A）（B）选项都是真命题，故选C。
【跟踪模拟训练】
总分100分
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩ =( )
(A){1,5,7}(B){3,5,7}
(C){1,3,9}(D){1,2,3}
2．已知全集U＝R，集合 ， ，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为 （ ）
3．已知命题p： ；命题q： ，则下列命题为真命题的是 ( )
A. p∧q B. p∨(?q) C. (?p)∧q D. p∧(?q)
4． “ ”是“ 或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2010届?安徽安庆高三二模）##NO.##若 、 ，则“ ”是“关于 、 的方程组 有实数解”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．##NO.##设 与 是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[ ，b]，都有 成立，则称 和 在[a，b]上是“密切函数”，区间[ ，b]称为“密切区间”.若 与 在[ ，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ）
A. [1，4] B. [2，4] C. [3，4] D. [2，3]
二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，总分18分）
7．已知全集 ，集合 ，则 .
8．（2010?苏、锡、常、镇四市高三调研）已知集合 ，设函数 （ ）的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
9．（2010?安徽“江南十校”高三联考）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是
三、解答题（10、11题15分，12题16分）
10.已知集合A={xx2-6x+8<0},B={x(x-a)?(x-3a)<0}.
(1)若A∪B=B，求a的取值范围；
(2)若A∩B={x3
11．已知命题p:方程a2x2+ax-2=0在［-1，1］上有解；命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.
12．##NO.##（2010届?安徽省示范高中模拟联考）（本小题满分12分）设函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若在区间 上存在x，使得 成立，求实数k的取值范围；
参考答案
1．【解析】选A.∵={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,15,…}∴A∩ ={1,5,7}.
2．【解析】由已知 ， ，则 ，故选B.
3．【解析】因为当x＜0时， ，即 ，所以命题p为假，从而?p为真.
因为当 时， ，即 ，所以命题q为真.所以(?p)∧q为真，故选C.
4．B
5．C
6．##NO.##【解析】因为 .由 ，得 ，解得 ，故选D.
7．答案：
8．【解析】
答案：[ ]
9．【解析】因为命题“ ， ”为假命题，所以 ， 为真命题。
答案：
10．【解析】A={x2
(1)∵A∪B=B，∴A B，a>0时，B={xa
(2)要满足A∩B={x3
显然a>0,a=3时成立.
∵此时B={x3
A∩B={x3
故所求的a值为3.
11．【解析】由a2x2+ax-2=0，
得(ax+2)(ax-1)=0,
“只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0”，
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或2，
∴命题“p或q”为真命题时，a≥1或a=0.
∵命题“p或q”为假命题,
∴a的取值范围为{a-1
12．【解析】##NO.##（Ⅰ）因为 ，所以
（Ⅱ）因为 ，所以 ,
则 .
求导得 ，当 时，显然有 ,
所以 在区间 上递增,
即可得 在区间 上的值域为 ,
在区间 上存在x，使得 成立，所以 .
【备课资源】
1.下列特称（存在性）命题中真命题的个数是（ ）
① x∈R,x≤0;
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
③ x∈{xx是无理数},x2是无理数.
（A）0（B）1（C）2（D）3
【解析】选D.①当x=-1时成立,故①正确;
②1是整数,它既不是合数,也不是素数,故②正确;
③当x= 时，它是无理数，同时x2= 也是无理数.
故③也正确.
2.已知a,b∈R，则“b=0”是“a+bi≥0”的 ( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.∵a+bi≥0 a2+b2≥0,
∴b=0可推得：a2+b2≥0但反之不一定，
故“b=0”是“a+bi≥0”的充分不必要条件.
3.（2009?合肥模拟）已知全集U=R，集合A={x
-2≤x≤3},B={xx<-1或x>4}，那么集合A∩( )等于( )
(A){x-2≤x<4}
(B){xx≤3或x≥4}
(C){x-2≤x<-1}
(D){x-1≤x≤3}
【解析】选D.∵ ={x-1≤x≤4}，
∴A∩( )={x-2≤x≤3}∩{x-1≤x≤4}={x-1≤x≤3}.
4.已知命题p:“ x∈［1,2］,x2-a≥0”，命题q：“ x∈R,x2+2ax+2-a=0”.
若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
(A)a≤-2或a=1(B)a≤-2或1≤a≤2
(C)a≥1(D)-2≤a≤1
【解析】选A.因为命题“p∧q”是真命题，所以p、q均为真命题，则有x2-a≥0即a≤x2在［1，2］上恒成立，∴a≤1，且Δ=(2a)2-4(2-a)≥0,即:a≤-2或a≥1，故a≤-2或a=1.
5.已知a、b∈(0,+∞)，若命题p:a2+b2<1.命题q:ab+1≤a+b，则p是 的（ ）
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A. 即：ab+1>a+b,
∵a,b∈(0,+∞),
∴a2b2+2ab+1>a2+b2+2ab.即a2+b2<1+a2b2.
∵a2+b2<1 a2+b2<1+a2b2;而a2+b2<1+a2b2不能推出a2+b2<1,
∴p是 的充分不必要条件.
6.给出下列判断：
①ambn=(ab)mn;
②函数y=1-e-x是增函数；
③a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充分不必要条件；
④y=lnx与y=ln(-x)的图象关于y轴对称.
其中正确判断的个数为（ ）
(A)1(B)2(C)3(D)4
【解析】选C.因为①(ab)mn=amnbmn≠am?bn，故①不正确.
②因为e-x为减函数，∴y=1-e-x为R上的增函数,故②正确.
③方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件为：
∴a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充分不必要条件，正确.
④显然正确.
综上有②③④正确.
7.若非空集合A，B，C满足A∪B=C,且B不是A的子集，则( )
(A)“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
(B)“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
(C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件
(D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析:选B.
即存在 ∴ ，故
8.已知集合A={(x,y)x-y+b=0},B={(x,y)(x-a)2+y2=8},其中x∈R，y∈R，若A∩B有且只有一个元素，则实数对(a,b)所取的一组值可以是_______.
【解析】由直线与圆的位置关系可知满足a+b=4的任何一组实数即可.
答案：(1,3)(答案不唯一）
9.已知以下四个命题：
①如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1
② ≤0是(x-1)(x-2)≤0的充要条件；
③若m>2，则x2-2x+m>0的解集是实数集R；
④若函数y=x2-ax+b在［2,+∞）上是增函数，则a≤4.
其中为真命题的是______.（填上你认为正确的命题序号）
【解析】①中a<0时解集为{xx>x2或x
答案：③④
10.已知集合A={xx-a
0}，若f(x)=sinπx-cosπx在A上是单调递增函数，求a的取值范围.
解析：由x-a当0又 的单调递增区间为 显然当a≥1时，f(x)在A上不可能是单调增函数。
当0
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