第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)

第二章 二次函数与命题

一、基础知识
1．二次函数：当 0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=- ，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=- ，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2}和{xx12）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{xx }和空集 ，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和 .f(x)图象与x轴无公共点。
当a<0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)= ,若a<0，则当x=x0= 时，f(x)取最大值f(x0)= .对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中，如果已知p q,则p是q的充分条件；如果q p，则称p是q的必要条件；如果p q但q不 p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不 q但p q，则p称为q的必要非充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。
例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a 0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△ 0，
所以α β，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)- f(1),
所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<
【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ ]<0，所以f(x)综上，x（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0= ,
所以 ，
所以
5．构造二次函数解题。
例5 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x取何值时，函数y= 取最小值？求出这个最小值。
【解】 y=1- ,令 u,则0y=5u2-u+1=5 ,
且当 即x= 3时，ymin= .
例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是 ，求b的值。
【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).
?)- ≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为- ，所以b2=2，所以 （舍去）。
?) - >-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=- ,b=- .
综上，b=- .
7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,
若a≤0，则x11-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
若a>0，?）当0因为0?）当a= 时，a=1-a，①无解。
?）当a> 时，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式组的解集为1-a又不等式组的整数解恰有2个，
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1综上，a的取值范围是18．充分性与必要性。
例9 设定数A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①
对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）
【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②
若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A 0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1 若a, b∈R, a-b≤a+b≤a+b.
【证明】 因为-a≤a≤a,-b≤b≤b，所以-(a+b)≤a+b≤a+b,
所以a+b≤a+b（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于x≤m）.
又a=a+b-b≤a+b+-b,
即a-b≤a+b.综上定理1得证。
定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
(证略)
注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
三、基础训练题
1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。
2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.
3. 当x-24. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是15. x 1且x 2是x-1 的__________条件，而-26.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若S={xmx2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________.
8. R为全集，A={x3-x≥4}, B= , 则(CRA)∩B=_________.
9. 设a, b是整数，集合A={(x,y)(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0） A，（3，2） A则a,b的值是_________.
10．设集合A={xx<4}, B={xx2-4x+3>0}，则集合{xx∈A且x A∩B}=_________.
11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
12．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范围。
四、高考水平训练题
1．若不等式x-a2．使不等式x2+(x-6)x+9>0当a≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
3．若不等式-x2+kx-4<0的解集为R，则实数k的取值范围是_________.
4．若集合A={xx+7>10}, B={xx-55．设a1、a2, b1、b2, c1、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为M和N，那么“ ”是“M=N”的_________条件。
6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________.
7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。
8．已知p: 1- ≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________.
9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)10．已知a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当x≤1时，f(x)≤1,
(1)求证：c≤1;
(2)求证：当x≤1时，g(x)≤2;
(3)当a>0且x≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).
11.设实数a,b,c,m满足条件： =0，且a≥0,m>0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0五、联赛一试水平训练题
1．不等式x3-2x2-4x+3<0的解集是_________.
2．如果实数x, y满足： ，那么x-y的最小值是_________.
3．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.
4. 已知f(x)=1-2x, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))= x有_________个实根。
5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________.
7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a8．函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图，且 =b-2ac. 那么b2-4ac_________4. （填>、=、<）
9．若a10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。
11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足f(x)≤1,试求a+b+c的最大值。

六、联赛二试水平训练题
1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足f(x)≤50的整数x最多有几个？
2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式f(x)≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。
3．设x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且设x= , y= , 求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且F(0)≤1,F(1)≤1,F(-1)≤1,则对于x≤1，求F(x)的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得f(m)≤ ,f(m+1)≤ ,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件：
1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤ ;
3）f(x)在R上最小值为0。
求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.
7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。
8．设a,b,A,B∈R+, a
9．设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, x≤1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值：
（?） =381;
（?）g(x)max=444;

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。