选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数
一、
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数
∴f′(x)＝0，故应选A.
2．设f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－1 D.1312
[答案] A
[解析] y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)
令y′＝0，解得x＝0.
∴f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝1312
∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.
3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )
A.2227 B．2
C．－1 D．－4
[答案] C
[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)
令y′＝0解得x＝13或x＝－1
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；
当x＝13时，y＝2227；当x＝1时，y＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( )
A．最大值为13，最小值为34
B．最大值为1，最小值为4
C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－1，最小值为－7
[答案] A
[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，
令y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.
5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( )
A.2 B．1
C．0 D．不存在
[答案] A
[解析] y′＝12x－121－x＝12?1－x－xx?1－x
由y′＝0得x＝12，在0，12上y′>0，在12，1上
y′<0.∴x＝12时y极大＝2，
又x∈(0,1)，∴ymax＝2.
6．函数f(x)＝x4－4x (x<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
[答案] D
[解析] f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)
∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．
∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.
8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于( )
A．－32 B.12
C．－12 D.12或－32
[答案] C
[解析] y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.
当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．
当－1
最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，
解得a＝－12或a＝－32(舍去)．
9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是
( )
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3
C．－2
D．不存在这样的实数
[答案] B
[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2
10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故应选B.
二、题
11．函数y＝x32＋(1－x)32，0≤x≤1的最小值为______．
[答案] 22
由y′>0得x>12，由y′<0得x<12.
此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，∴最小值在x＝12时取得，ymin＝22.
12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．
[答案] 不存在；－2834
[解析] f′(x)＝－36＋6x＋12x2，
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；当x>32时，函数为增函数，当－2≤x≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f32＝－2834，所以最小值为－2834.
13．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．
[答案] 3－1
[解析] f′(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2
令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)
当x>a时，f′(x)<0；当0
0；
当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝32<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.
14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
[答案] 32
[解析] f′(x)＝3x2－12
由f′(x)>0得x>2或x<－2，
由f′(x)<0得－2∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
f(3)＝－1，
∴最大值M＝24，最小值m＝－8，
∴M－m＝32.
三、解答题
15．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2；
(2)f(x)＝x＋1－x2.
[解析] (1)f′(x)＝2cos2x－1.
令f′(x)＝0，得cos2x＝12.
又x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]，
∴2x＝±π3，∴x＝±π6.
∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为
fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.
又f(x)在区间端点的取值为
fπ2＝－π2，f－π2＝π2.
比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.
(2)∵函数f(x)有意义，
∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，
∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．
f′(x)＝1＋12(1－x2)－12?(1－x2)′＝1－x1－x2 .
令f′(x)＝0，得x＝22 .
∴f(x)在[－1,1]上的极值为
f22＝22＋1－222＝2.
又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.
16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．
[解析] f(x)的定义域为－32，＋∞.
f′(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3
＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.
当－320；
当－1当x>－12时，f′(x)>0，
所以f(x)在－34，14上的最小值为
f－12＝ln2＋14.
又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0，
所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝ln72＋116.
17．(2010?安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．
[解析] (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)单调递减 ?2(1－ln2＋a)单调递增 ?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
18．已知函数f(x)＝4x2－72－x，x∈[0,1]．
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
[解析] (1)对函数f(x)求导，得
f′(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2
令f′(x)＝0解得x＝12或x＝72.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x0(0，12)
12
(12，1)
1
f′(x)－0＋
f(x)－72
?－4 ?－3
所以，当x∈(0，12)时，f(x)是减函数；
当x∈12，1时，f(x)是增函数．
当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g′(x)＝3(x2－a2)．
因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.
因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．
又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．
任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，
则[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．
即1－2a－3a2≤－4，①－2a≥－3.②
解①式得a≥1或a≤－53；解②式得a≤32.
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