导数与函数的单调性

3.1.1 导数与函数的单调性
过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数．相应地， ．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图 3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率．

（ 图 3.3-3）

在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；
在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数．
3．求解函数 单调区间的步骤：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数 的下列信息：
当 时， ；
当 ，或 时， ；
当 ，或 时，
试画出函数 图像的大致形状．
解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；
当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；
当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数 图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1） ； （2）
（3） ； （4）
解：（1）因为 ，所以，

因此， 在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．

（2）因为 ，所以，
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减；
函数 的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为 ，所以，
因此，函数 在 单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为 ，所以 ．
当 ，即 时，函数 ；
当 ，即 时，函数 ；
函数 的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练


例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数 在 或 内的图像“陡峭”，
在 或 内的图像“平缓”．
例4．求证：函数 在区间 内是减函数．
证明：因为
当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数．
说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：
（1）求导函数 ；
（2）判断 在 内的符号；
（3）做出结论： 为增函数， 为减函数．
例5．已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得：
所以实数 的取值范围为 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+ )′
=1－1?x－2=
令 ＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx
2．课本练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数 单调区间

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