锐角三角函数的简单应用

§7.6锐角三角函数的简单应用⑶
主备：李维明 班级________姓名____________
一．学习目标：
1．使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系；
2．能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
二．学习重点难点：
重点：坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系.
难点：能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.
三．过程
知识迁移：
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡 的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A.从图形可以看出 ＞ ，即： ＞ .
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图， 叫做坡度(或坡比) .
记作i，即i＝ ， 坡度通常用l∶m的形式，如右上图，斜坡AB的坡度是：i＝ .
叫做坡角.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝ ，显然，
.

【例题解析】
Ⅰ.掌握坡度的概念
①某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为 __________.
②（10江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了_________.
Ⅱ.掌握两个常见的坡度
①（11甘肃兰州）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1=1∶3，坝外斜坡的坡度i2=1∶1，则两个坡角的和为 .
②（11湖南衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是 .

Ⅲ.一道常规题型.
例1：如图,水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度i＝1:1.2，坝顶宽DC=2.5米，坝高4.5米，又知堤坝的总长度为5km.
求:(1)背水坡AD的坡角(精确到0.1°)；
(2)坝底宽AB的长(精确到0.1米).

思考1：在上题中,为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加高堤坝，要求堤坝加高0.5米，已知堤坝的总长度为5km，（保持迎水坡与背水坡的坡度不变），需要多少方土？(结果保留根号)
思考2：上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1:1.4，求完成该项工程所需的土方(结果保留根号)

【课时作业】
1. 如图，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.
2. 如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC，
(1) 若斜坡AB=10m，大坝高为8m，则斜坡AB的坡度iAB＝ .
(2)如果坡度iAB＝1∶3 ，则坡角∠B＝ .
(3)如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为__ _.
3. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD (单位米，结果保留根号)

4.（10 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1∶3.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

5.（10 山东济南）我市某乡镇学校楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？

【能力拓展】
1.（11四川凉山州）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度i=5∶3，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i=5∶6.
(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长.（结果保留根号）
(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿AD方向加宽多少米？

2.（11江苏苏州）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）得窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1∶3，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于________度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）.
3.（2011湖北黄冈）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1∶3（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，3≈1.732）.

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