天津市2013年中考数学试卷分析及点评

一、（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2013?天津）计算（?3）+（?9）的结果等于（　　）
　A．12B．?12C．6D．?6
考点：有理数的加法．
分析：根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可．
解答：解：（?3）+（?9）=?12；
故选B．
点评： 本题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则，比较简单，属于基础题．
　
2．（3分）（2013?天津）tan60°的值等于（　　）
　A．1B． C． D．2
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
解答：解：tan60°= ．
故选C．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
　
3．（3分）（2013?天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
　A． B． C． D．
考点：中心对称图形
分析：根据 中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
　
4．（3分）（2013?天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（　　）
　A．821×102B．82.1×105C．8.21×106D．0.821×107
考点：科学记数法?表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：X kB1.cOM解：8 210 000=8.21×106，
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
5．（3分）（2013?天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（　　）
　A．（1）班比（2）班的成绩稳定B．（2）班比（1）班的成绩稳定
　C．两个班的成绩一样稳定D．无法确定哪班的成绩更稳定
考点：方差．
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，
∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，
∴（2）班比（1）班的成绩稳定．
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
　
6．（3分）（2013?天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（　　）
　A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．
故选A．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
　
7．（3分）（2013?天津 ）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（　　）
　A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
考点：旋转的性质；矩形的判定．
分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
解答：解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF矩形．
故选A．
点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
　
8．（3分）（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（　　）
　A． ：3B． ：2C．1：2D． ：2
考点：正多边形和圆．
分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．
解答：解：如图：设六边形的边长是a，
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC= AB= a，
∴OC= = a，
∴正六边形的边心距与边长之比为： a：a= ：2．
故选B．
点评：此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
9．（3分）（2013?天津）若x=?1，y=2，则 ? 的值等于（　　）
　A． B． C． D．
考点：分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可．
解答：解：原式= ?
= xkb1.com
=
= ，
当x=?1，y=2时，原式= = ．
故选D．
点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
10．（3分）（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；
②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；
③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．
其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（　　）
　A．0B．1C．2D．3
考点：函数的图象．
分析：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；
②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；
③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；
解答：解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；
②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度 匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；
③如图所示：
当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；
综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．
故选C．
点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．
　
二、题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2013?天津）计算a?a6的结果等于　a7　．
考点：同底数幂的．
专题：．
分析：利用同底数幂的法则计算即可得到结果．
解答：解：a?a6=a7．
故答案为：a7
点评：此题考查了同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
12．（3分）（2013?天津）一元二次方程x（x?6）=0的两个实数根中较大的根是　6　．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：．
分析：原方程转化为x=0或x?6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．
解答：解：∵x=0或x?6=0，
∴x1=0，x2=6，
∴原方程较大的根为6．
故答案为6．
点评：本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
　
13．（3分）（2013?天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是　k＞0　．
考点：一次函数图象与系数的关系．
分析：根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
解答：解：∵一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0．
故填：k＞0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
　
14．（3分）（2013?天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段　AC=BD（答案不唯一）　．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：开放型．
分析：利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
解答：解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，AD=BC．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型题目，答案不唯一．
　
15．（3分）（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为　55　（度）．
考点：切线的性质．
分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答 案．
解答：解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°?∠PAO?∠P?∠PBO=360°?90°?70°?90°=110°，
∴∠C= ∠AOB=55°．
故答案为：55．
点评：此题考查了切线的性质以及圆 周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
16．（3分）（2013?天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是　 　．
考点：列表法与树状图法．
专题：计算题．
分析：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
解答：解：如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，
所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率= ．
故答案为 ．
点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率= ．
　
17．（3分）（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　7　．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC?BD=9?3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB =∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则 = ，
即 = ，
解得：CE=2，
故AE=AC?CE=9?2=7．
故答案为：7．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
　
18．（3分）（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求　．
考点：作图?相似变换；三角形的面积；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
解答：解：（Ⅰ）△ABC的面积为： ×4×3=6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点 A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
点评：此题考查了作图?位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．
　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2013?天津）解不等式组 ．
考点：解一元一次不等式组．
专题：计算题．
分析：分别解两个不等式得到x＜3和x＞?3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．
解答：解： ，
解①得x＜3，
解②得x＞?3，
所以不等式组的解集为?3＜x＜3．
点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
　
20．（8分）（2013?天津）已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（?1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当?3＜x＜?1时，求y的取值范围．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；
（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
解答：解：（Ⅰ）∵反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得
3= ，
解得，k=6，
∴这个函数的解析式为：y= ；
（Ⅱ）∵反比例函数解析式y= ，
∴6=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（?1）×6=?6≠6，则点B不在该函数图象上．
3×2=6，则点C中该函数图象上；
（Ⅲ）∵当x=?3时，y=?2，当x=?1时，y=?6，
又∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当?3＜x＜?1时，?6＜y＜?2．
点评：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
　
21．（8分）（2013?天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　50　，图①中m的值是　32　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
解答：解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），
m=100?20?24?16?8=32；
（2）∵ = （5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
∴这组数据的中位数为： （15=15）=15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．
故答案为：50，32．
点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
　
22．（8分）（2013?天津） 已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°?∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°?108°=72°，
∴∠BAF=90°?∠B=180°?72°=18°．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
23．（8分）（2013?天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD?AB=CD?112；在Rt△BCD中，可得BD=CD?tan36°，即可得CD?tan36°=CD?112，继而求得答案．
解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD?AB=CD?112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°?∠CBD=36°，
∴tan36°= ，
∴BD=CD?tan36°，
∴CD?tan36°=CD?112，
∴CD= ≈ ≈415（m）．
答：天塔的高度CD为：415m．
点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
　
24．（8分）（2013?天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
实际花费130290…x
在甲商场127…
在乙商场126…
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
分析：（1）根据已知得出100+（290?100）×0.9以及50+（290?50）×0.95进而得出答案，同理即可得出累计购物x元的实际花费；
（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，从而得出正确结论；
（3）根据0.95x+2.5与0.9x+10相比较，从而得出正确结论．
解答：解：（1）在甲商场：100+（290?100）×0.9=271，
100+（290?100）×0.9x=0.9x+10；
在乙商场：50+（290?50）×0.95=278，
50+（290?50）×0.95x=0.95x+2.5；
（2）根据题意得出：
0.9x+10=0.95x+2.5，
解得：x=150，
∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，
（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，
解得：x＞150，
0.9x+10＞0.95x+2.5，
解得：x＜150，
yB=0.95x+50（1?95%）=0.95x+2.5，正确；
∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；
当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．
　
25．（10分）（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（?2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
考点：相似形综合题．
分析：（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到 = ，则易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2?m）2+42=m2?4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则
A′B2+BE′2=2m2?4m+29=2（m?1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．
解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（?2，0），点B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴ = ，即 = ，
解得，OE=1，
∴点E的坐标为（0，1）；
（Ⅱ）①如图②，连接EE′．
由题设知 AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2?m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2?m）2+42= m2?4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又BE=OB?OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2?4m+29=2（m?1）2+27．
当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．
②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴ = = ，
∴AA′= ×2= ，
∴EE′=AA′= ，
∴点E′的坐标是（ ，1）．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．
　
26．（10分）（2013?天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：
（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．
x…?103…
y1=ax2+bx+c…0 0…
考点：二次函数综合题．
专题：探究型．
分析：（I）先根据物线经过点（0， ）得出c的值，再把点（?1，0）、（3，0）代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；
（II）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=y2?t，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=y2?3，PQ=AC=x?1，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；
②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6?2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1， ），由于3＞ ，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6?2t＜0，即t＞3时，求出y1?y2的值；若3t?11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1， ）在x轴下方，因为3?t＜0，只要3t?11＞0，解得t＞ ，符合题意；若3t?11=0，y1?y2=? ＜0，即t= 也符合题意．
解答：解：（Ⅰ） ∵抛物线经过点（0， ），
∴c= ．
∴y1=ax2+bx+ ，
∵点（?1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+ 上，
∴ ，解得 ，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1=? x2+ x+ ；
（II）∵y1=? x2+ x+ ，
∴y1=? （x?1）2+3，
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，
∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，
∴四边形ANMP为菱形，
∴PA∥l，
又∵点P（x，y2），
∴点A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=y2?t，
过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），
∴QM=y2?3，PQ=AC=x?1，
在Rt△PQM中，
∵PM2=QM2+PQ2，即（y2?t）2=（y2?3）2+（x?1）2，整理得， y2= （x?1）2+ ，
即y2= x3? x+ ，
∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，
∴P（1， ），
∴P点坐标也满足上式，
∴y2与x之间的函数关系式为y2= x3? x+ （t≠3）；
②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y2开口方向向上时，6?2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1， ），
∵3＞ ，
∴不合题意，
当抛物线y2开口方向向下时，6?2t＜0，即t＞3时，
y1?y2=? （x?1）2+3?[ （x?1）2+ ]
= （x?1）2+ ，
若3t?11≠0，要使y1＜y2恒成立，
只要抛物线y= （x?1）2+ 开口方向向下，且顶点（1， ）在x轴下方，
∵3?t＜0，只要3t?11＞0，解得t＞ ，符合题意；
若3t?11=0，y1?y2=? ＜0，即t= 也符合题意．
综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥ ．


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