逍遥学能 2016-02-12 09:33
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y=2x（x?3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． 2 B． ?2 C． ?1 D． ?4
2．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件 的概率是0.5，则在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定CD∥AB的是 （ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线y=x2+4向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2+3 B． y=x2+5 C． y=（x+1）2+4 D． y=（x?1）2+4
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A． 15° B． 28° C． 29° D． 34°
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（ ）
A． 12 m B． 13.5 m C． 15 m D． 16.5 m
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（ ）
A． 0＜x≤3 B． ?2≤x≤3 C． ?1≤x≤3 D． x≤?1或x≥3
8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（?2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． （?1，2） B． （1，?1） C． （?1，1） D． （2，1）
9．甲、乙、丙三人参加央视的“幸运52”．幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 无法确定
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C． 3 D． 4
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= cm2．
12．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：
2 3 4 x ?3 ?2 ?1 0 1
?4 0 6 y 6 0 ?4 ?6 ?6
则使y＜0的x的取值范围为 ．
13．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是 mm．
14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：
①AD2=AE•AB；
②3.6≤AE＜10；
③当AD=2 时，△ABD≌△DCE；
④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．
其中正确的结论是 ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
16．如图，已知函数y= x与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A．将y= x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= 交于点B，与x轴交于点C．若 =2，则k的值是 ．
三．解答题（共7小题）
17．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）这种树苗成活的频率稳定在 ，成活的概率估计值为 ．
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵．
①估计这种树苗成活 万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
18．已知 ，（1）求 的值； （2）若 ，求x值．
19．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．
（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
20．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，?3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=?2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当β=36°时，求α的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．
23．如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA；
（3）在（2）的基础上，BC边上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）进一步探索：动点F移动几分钟，△EFO能成为等腰三角形？
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y=2x（x?3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． 2 B． ?2 C． ?1 D． ?4
考点： 二次函数的定义．
分析： 首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数与一次项系数的和．
解答： 解：y=2x（x?3）
=2x2?6x．
所以二次项系数与一次项系数的和=2+（?6）=?4．
故选D．
点评： 此题考查了二次函数的一般形式，计算时注意系数的符号．
2．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件 的概率是0.5，则在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
专题： 跨学科．
分析： 根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为 ，可得两个元件同时不正常工作的概率为 ，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
解答： 解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为 ，
则两个元件同时不正常工作的概率为 ；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为1? = ；
故选D．
点评： 用到的知识点为：电流能正常通过的概率=1?电流不能正常通过的概率．
3．如图，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定CD∥AB的是 （ ）
A． B． C． D．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行线分线段成比例定理对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故本选项错误；
B、AO与CD，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故本选项错误；
C、应为 = ，能判定CD∥AB，故本选项错误；
D、 = 能判定CD∥AB，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据图形准确找出对应线段是解题的关键．
4．把抛物线y=x2+4向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2+3 B． y=x2+5 C． y=（x+1）2+4 D． y=（x?1）2+4
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
解答： 解：原抛物线向下平移1个单位，
所以平移后的函数解析式为：y=x2+4?1．
故选：A．
点评： 此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A． 15° B． 28° C． 29° D． 34°
考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
解答： 解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°?30°）÷2=28°．
故选：B．
点评： 此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（ ）
A． 12 m B． 13.5 m C． 15 m D． 16.5 m
考点： 相似三角形的应用．
分析： 利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解答： 解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴ =
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴ =
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（ ）
A． 0＜x≤3 B． ?2≤x≤3 C． ?1≤x≤3 D． x≤?1或x≥3
考点： 二次函数的图象．
分析： 根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（3，0），可求另一交点，观察图象得出y≤0时x的取值范围．
解答： 解：因为抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（3，0），
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（?1，0），
因为抛物线开口向上，当y≤0时，?1≤x≤3．
故选C．
点评： 利用了抛物线的对称性以及抛物线与x轴交点坐标．
8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（?2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． （?1，2） B． （1，?1） C． （?1，1） D． （2，1）
考点： 确定圆的条件；坐标与图形性质．
专题： 压轴题；网格型．
分析： 连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
解答： 解：如图所示，
∵AW=1，WH=3，
∴AH= = ；
∵BQ=3，QH=1，
∴BH= = ；
∴AH=BH，
同理，AD=BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH=AH=HC，
H为圆心．
于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（?1，1）．
故选C．
点评： 根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．
9．甲、乙、丙三人参加央视的“幸运52”．幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 无法确定
考点： 可能性的大小．
专题： 压轴题．
分析： 列举出所有情况，比较得到B的可能性即可．
解答： 解：取得礼物，共有三种情况，（1）甲C，乙A，丙B；（2）甲A，乙B，丙C；（3）甲A，乙C，丙B．
可见，取得礼物B可能性最大的是丙．故选C．
点评： 解决本题的关键是找到得到礼物的所有情况．
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C． 3 D． 4
考点： 二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出 = ， = ，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
解答： 解：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2，
由勾股定理得：DE= ，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴ = ， = ，
∵AM=PM= （OA?OP）= （4?2x）=2?x，
即 = ， = ，
解得：BF= x，CM= ? x，
∴BF+CM= ．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= 4 cm2．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 根据扇形的面积公式S扇形= ×弧长×半径求出即可．
解答： 解：由题意知，弧长=8?2×2=4cm，
扇形的面积是 ×4×2=4cm2，
故答案为：4．
点评： 本题考查了扇形的面积公式的应用，主要考查学生能否正确运用扇形的面积公式进行计算，题目比较好，难度不大．
12．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：
2 3 4 x ?3 ?2 ?1 0 1
?4 0 6 y 6 0 ?4 ?6 ?6
则使y＜0的x的取值范围为 x＜?2或x＞3 ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 图表型．
分析： 先求出二次函数的表达式，再求出与x轴的交点即可求出y＜0的x的取值范围．
解答： 解：取点（（3，0），（?2，0），（0，6）代入y=ax2+bx+c得 ，解得 ，
∴二次函数y=?x2+x+6
令0=?x2+x+6，可得x1=?2，x2=3，
∵函数图象开口向下，
∴y＜0的x的取值范围为x＜?2或x＞3．
故答案为：x＜?2或x＞3．
点评： 本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式．
13．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是 8 mm．
考点： 相交弦定理；勾股定理．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据垂径定理和相交弦定理求解．
解答： 解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
则下面的距离就是2．
利用相交弦定理可得：2×8= AB× AB，
解得AB=8．
故答案为：8．
点评： 本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．
14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
考点： 二次函数的应用．
专题： 函数思想．
分析： 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=?1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解答： 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（?2，0），
到抛物线解析式得出：a=?0.5，所以抛物线解析式为y=?0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=?1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=?1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=?1代入抛物线解析式得出：
?1=?0.5x2+2，
解得：x= ，
所以水面宽度增加到 米，
故答案为： ．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：
①AD2=AE•AB；
②3.6≤AE＜10；
③当AD=2 时，△ABD≌△DCE；
④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．
其中正确的结论是 ①②③④ ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②依据相似三角形对应边成比例即可求得；
③由AD=2 时，求得DC=10，然后根据对应边相等则两三角形全等，即可证得；
④分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
解答： 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∴ = ，
∴AD2=AE•AB，
故①正确，
②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，
设BD=y，CE=x，
∴ = ，
∴ = ，
整理得：y2?16y+64=64?10x，
即（y?8）2=64?10x，
∴0＜x≤6.4，
∵AE=AC?CE=10?x，
∴3.6≤AE＜10．
故②正确．
③作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα= ，
∵BC=16，
∴AG=6，
∵AD=2 ，
∴DG=2，
∴CD=8，
∴AB=CD，
∴△ABD与△DCE全等；
故③正确；
④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα= ，AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα= ．AB=10，
∴cosB= = ，
∴BD= ．
故④正确．
故答案为：①②④．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决④的关键．
16．如图，已知函数y= x与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A．将y= x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= 交于点B，与x轴交于点C．若 =2，则k的值是 12 ．
考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据一次函数图象的平移问题由y= x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y= x?6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则 = =2，若设A点坐标为（a， a），则CF= a，BF= a，得到B点坐标为（ + a， a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a• a=（ + a）• a，解得a=3，于是可确定点A的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．
解答： 解：∵y= x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= 交于点B，与x轴交于点C，
∴直线BC的解析式为y= x?6，
把y=0代入得 x?6=0，解得x= ，
∴C点坐标为（ ，0）；
作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴ = = =2，
设A点坐标为（a， a），则OE=a，AE= a，
∴CF= a，BF= a，
∴OF=OC+CF= + a，
∴B点坐标为（ + a， a），
∵点A与点B都在y= 的图象上，
∴a• a=（ + a）• a，解得a=3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y= 得k=3×4=12，
故答案为：12．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．
三．解答题（共7小题）
17．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）这种树苗成活的频率稳定在 0.9 ，成活的概率估计值为 0.9 ．
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵．
①估计这种树苗成活 4.5 万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
考点： 利用频率估计概率；用样本估计总体．
专题： 应用题；压轴题．
分析： （1）由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9；
（2）5×成活率即为所求的成活的树苗棵树；
（3）利用成活率求得需要树苗棵数，减去已移植树苗数即为所求的树苗的棵数．
解答： 解：
（1）这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
（2）①估计这种树苗成活在5×0.9=4.5万棵；
②18÷0.9?5=15；
答：该地区需移植这种树苗约15万棵．
点评： 本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
18．已知 ，（1）求 的值； （2）若 ，求x值．
考点： 比例的性质；二次根式的性质与化简．
专题： 计算题．
分析： （1）设x=2k，y=3k，z=4k，代入后化简即可；
（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入得出2k+3=k2，求出方程的解，注意无理方程要进行检验．
解答： 解 由 ，设x=2k，y=3k，z=4k，
（1） ，
（2） 化为 ，
∴2k+3=k2，即k2?2k?3=0，
∴k=3或k=?1，
经检验，k=?1不符合题意，
∴k=3，从而x=2k=6，
即x=6．
点评： 本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用，注意解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验．
19．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．
（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
考点： 作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： 分别根据位似变换、轴对称、平移的作图方法作图即可；根据这些变换的特点可求出变换后点P对应点的坐标．
解答： 解：（1）如图．先把△ABC作位似变换，扩大2倍，再作关于y轴对称的三角形，然后向右平移4个单位，再向上平移5个单位．
（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍（2x，2y），经y轴翻折得到（?2x，2y），再向右平移4个单位得到（?2x+4，2y），再向上平移5个单位得到（?2x+4，2y+5）．
点评： 本题主要考查：位似变换、轴对称、平移．此题隐含着逆向思维．
20．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，?3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=?2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
分析： （1）利用交点式得出y=a（x?1）（x?3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）把x=2代入y=?2x得出y=?4，把y=1代入y=?2x得出y=? ，进而得出答案．
解答： 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x?1）（x?3），
把C（0，?3）代入得：3a=?3，
解得：a=?1，
故抛物线解析式为y=?（x?1）（x?3），
即y=?x2+4x?3，
∵y=?x2+4x?3=?（x?2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：y=?x2+4x?8，
把x=2代入y=?2x得出y=?4，
∵顶点坐标（2，1）；
∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，?4）；
②向左平移2.5个单位，得到：y=?（x+0.5）2+1，
把y=1代入y=?2x得出y=? ，
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（? ，1）．
点评： 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．
21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题；转化思想．
分析： 此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．
解答： 解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴ ，
由题意，知FH=EF?EH=1.7?1.2=0.5，
∴ ，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当β=36°时，求α的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．
考点： 三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；垂径定理．
分析： （1）连接OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据（1）的方法解答即可；
（3）过O作OE⊥AC于E，连接OC，证明AE= OA，得到△ABC为正三角形，得到答案．
解答： 解：（1）连接OB，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠C=36°，
∴∠AOB=72°，
∵∠OAB= （180°?∠AOB）=54°，
即β=54°．
（2）α与β之间的关系是α+β=90°；
证明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°?2α，
∵∠AOB=2∠β，
∴180°?2α=2∠β，
∴α+β=90°．
（3）∵点C平分优弧AB
∴AC=BC
又∵BC2=3OA2，
∴AC=BC= OA，
过O作OE⊥AC于E，连接OC，
由垂径定理可知AE= OA，
∴∠AOE=60°，∠OAE=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，
则α=∠CAB?∠CAO=30°．
点评： 本题考查的是三角形的外接圆、垂径定理和锐角三角函数的知识，综合性较强，需要学生灵活运用所学的知识，正确作出辅助线构造直角三角形进行解答．
23．如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA；
（3）在（2）的基础上，BC边上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）进一步探索：动点F移动几分钟，△EFO能成为等腰三角形？
考点： 相似形综合题．
分析： （1）先根据题意得出AC两点的坐标，再设BO=x，由勾股定理求出x的值，进而可得出B点坐标；
（2）过F点作FK⊥BC于K，可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，由FE∥BC可得△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，故 = ， = ，即EF=10?5t，故S△EFO= EF×TO= ，当t=1时，△EFO的面积达到最大值；此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线，所以 = ，由AO⊥BC于O得出 = = ，故 = = ，由此可得出结论；
（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，若使D为BC的中点时， = = = ，再由 = = 可知FO=ED，EO=FD，EF=FE，故△EFD≌△FEO，由全等三角形的性质即可得出D点坐标；
（4））由FE∥BC可得出△ATF∽△AOB，△ATE∽△AOC，故可得出FT＞TE，由勾股定理可得OF＞EO，设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，可得：EF=10?5t，B（?8，0），故F（4t?8，3t），E（2?t，3t），再分EF=FO与EF=EO两种情况进行讨论即可．
解答： 解：（1）∵AO=3CO=6，
∴CO=2，
∴C（2，0），A（0，6）．
设BO=x，且x＞0；则BC2=（2+x）2，AB2=AO2+OB2=36+x2；
又∵BC=AB，
∴（2+x）2=36+x2，解得x=8，
∴B（?8，0）；
（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，
可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，
则：BF=5t，TO=FK=3t；∴AT=6?3t，
又∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，
则： = ，
∴ = ，即EF=10?5t，
故S△EFO= EF×TO= （10?5t）×3t，
即S△EFO=? （t?2）t，
∴当t=1时，△EFO的面积达到最大值；
此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线．
则： = ，
又有AO⊥BC于O，
则： = =
∴ = = ，
∴△EFO∽△CBA；
（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，
若使D为BC的中点时，
= = =
又∵ = = ，
∴FO=ED，EO=FD，EF=FE，
∴△EFD≌△FEO．
故：存在满足条件的D点，其坐标为（?3，0）．
（4）∵FE∥BC
∴△ATF∽△AOB，△ATE∽△AOC，
∴ = = ，则： = =4＞1，
∴FT＞TE，
又∵OF2=FT2+TO2，OE2=TE2+TO2，
∴OF2＞EO2；则：OF＞EO，
设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，
可得：EF=10?5t，B（?8，0），
则：F（4t?8，3t），E（2?t，3t）；
∴EO2=（2?t）2+9t2=10t2?4t+4，FO2=16（t?2）2+9t2，
故要使△EFO为等腰三角形，则
①当EF=FO时，EF2=FO2，
∴16（t?2）2+9t2=（10?5t）2，
则：t=1；
②当EF=EO时，EF2=EO2，
∴10t2?4t+4=（10?5t）2，
而0＜t＜2，
∴t= ，
∴当F点移动了 或1分钟时，△EFO为等腰三角形．
点评： 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识，在解答（4）时要注意进行分类讨论．