空间点、直线、平面之间的位置关系

一. 本周教学内容：空间点、直线、平面之间的位置关系

二. 重点：

1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。

2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面

6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行

7. 平面与平面的位置关系：相交、平行

【典型例题

[例1] 下列结论中正确的有（ ）个

（1）过空间三点的平面有且只有一个

（2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个

（3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个

（4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案：C

解析：（2）（3）（4）正确。

[例2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？

（2）空间四条平行直线可确定几个平面？

（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？

答案：

（1）1个或3个

（2）1个，4个或6个

（3）1个，3个或4个

[例3] 外三边所在直线分别交平面

∴ 中E、F为AA1、CC1中点，求证：

证明：延长 交AD于M，延长 交DC于N

E为A1A中点 ∴ MA=AD

同理CN=CD

∴ M、N、B三点共线

∴ 三点确定平面

∴

[例5] 空间不共点的四条直线两两相交，求证四线共面。

证明：

（1）有三线共点，如图

A、B、D确定平面 同理

（2）无三点共线，如图

A、D、F三点确定平面

[例6] 已知

证明：D为 上一点

，

确定平面 同理A、C、D

证： EHFG

互相平分 MN过EF中点

∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分

[例8] 正方体 成异面关系的棱有 条；

（3）与BD成异面关系的棱有 条；

（4）12条棱中异面直线有 对。

解：（1）4条 （2）6条 （3）6条 （4）24对

[例9] 空间四边形ABCD（A、B、C、D不共面）E、M为AD的三分点，F、N为BC的三分点，由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。

答案：六对，任意两条均异面

证明：EF、MN异面（反证法）

假设EF、MN共面

∴ A、B、C、D 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立

∴ EF、MN为异面直线

[例10] 正方体

解：

（1）

（3） ∴

∵ 正 ∴ 异面， B. D. 2MN与AC BD无法比较

3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。

4. ，则 ，求证 所在平面外一点， ，D、E、F依次为 、 的重心，求 的面积。

【答案】

1. 平行或相交或异面

2. B

3. 相交或异面

4. 平行或相交或异面

5. ∵ ∴ 没有公共点 ∵ ∴ 与 无公共点

6. 连PD延长交AB于M，连PE延长交BC于N，连结MN

同理 相似比为

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