逍遥学能 2013-09-10 12:53
均值不等式 < style='width:141.75pt; > 当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当< style='width:46.5pt;'> 时，求 的最大值。
解析：由< style='width:46.5pt;'> 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将
当且仅当 ，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时， 的最大值。
解析：由题意知 ，首先要调整符号，又 不是定值，故需对 进行凑项才能得到定值。
∵
当且仅当 时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离
例3. 求 的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ，即 时
，即 时
的值域为 。
评注：分式函数求最值，通常化成 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4. 已知 ，求 的最小值。
解法1：不妨将 乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当 时取等号，由
即 时， 的最小值为 。
解法2：将 分子中的1用
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到 与 的积为定值，即可用均值不等式求得 的最小值。
三、换元
例5. 求函数 ，则 时，
当且仅当 ，即 。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6. 求函数 的和为定值。
又
当且仅当 。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
［练一练］
1. 若 的最大值。
2. 求函数 的最小值。
3. 求函数 的最小值。
4. 已知 ，且 ，求 的最小值。
参考答案：1. 2. 5 3. 8 4.