湖南省师大附中2015-2016学年上学期期末考试（数学）

湖南师大附中高一年级模块二结业考试数 学 试 题时量 120分钟 总分100+50分命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 备课组长：吴锦坤必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　A　） A． B． C． D．2、过点且垂直于直线 的直线方程为（ B ） A． B． C． D．3、下列四个结论： ⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ A ） A． B． C． D．4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（　 B　） Ａ．　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ．5、圆上的点到点的距离的最小值是（ B ） A．1 B．4 C．5 D．6 6、若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ D ） A. B. C. D. 7、把正方形沿对角线折起,当以四点为和平面所成的角的大小为（ C ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点与点的距离为.9、方程表示一个圆，则的取值范围是.10、如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为. 【第12题图】 【第13题图】13、如图，二面角的大小是60°，线段在平面EFGH上，在EF上，与EF所成的角为30°，则与平面所成的角的正弦值是三．解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、(满分11分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）； （1）求出这个工件的体积； （2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.【解析】（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4， 母线长为3，.........................................2分 设圆锥高为， 则........................4分 则 ...6分 （2）圆锥的侧面积，.........8分 则表面积=侧面积+底面积=（平方厘米） 喷漆总费用=元...............11分15、（满分12分）如图，在正方体中，（1）求证：;（2）求直线与直线BD所成的角【解析】(1)在正方体中， 又，且, 则, 而在平面内，且相交 故；...........................................6分 （2）连接， 因为BD平行，则即为所求的角， 而三角形为正三角形，故， 则直线与直线BD所成的角为.......................................12分16、（满分12分）已知圆C:=0（1）已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。【解析】：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.............1分 ∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径，..............3分 即= ...................4分 ∴或..................5分所求切线方程为：或 ………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合故直线.................8分 当直线斜率存在时，设直线方程为，即由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分则，.................11分直线方程为 综上，直线方程为，.................12分必考Ⅱ部分四、本部分共5个小题，满分50分，计入总分．17（满分5分）在棱长为1的正方体中，，分别，（不包括）上的动点，且平行于平面，则面体体积的最大值是、为不同的两点，直线的方程为， 设．有下列四个说法：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交.上述说法中，所有正确说法的序号是 ② ③ ④ 19（满分13分）已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y = ?2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．【解析】（1），． 设圆的方程是 令，得；令，得 ，即：的面积为定值．.....................5分 （2）垂直平分线段． ，直线的方程是． ，解得： ..................................8分 当时，圆心的坐标为，， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点．............................................10分当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去．....................................11分圆的方程为．...........................13分20（满分13分）如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形. . （1）证明：（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值。【解析】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则又SD=1，故所以为直角。由，得,所以.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以..........................6分（II）由知，作，垂足为F，则,作，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则又，,故，作，H为垂足，则.即F到平面SBC的距离为。由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。设AB与平面SBC所成的角为，则...........................12分21（满分14分）已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，求直线的方程；（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．【解析】（1）设解得或（舍去）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，，解得或直线PA的方程是或（2）设与圆M相切于点A，经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点．的坐标是设 当，即时，当，即时，当，即时则湖南省师大附中2015-2016学年上学期期末考试（数学）
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