向量的数乘

一、课题：向量的数乘（2））
二、目标：1．了解平面向量基本定理的概念；
2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个
向量；
3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
三、重、难点：1．平面向量基本定理的应用；
2．平面向量基本定理的理解。
四、教学过程：
（一）复习引入：
（1）向量的加法运算、向量共线定理；
（2）设 ， 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，下面我们
来研究向量 与 ， 的关系。
（二）新课讲解：
1．平面向量基本定理：
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 ．其中我们把不共线的向量 ， 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：① ， 均非零向量；
② ， 不唯一（事先给定）；
③ ， 唯一；
④ 时， 与 共线； 时， 与 共线； 时， ．
2．例题分析：
例1 已知向量 ， （如图），求作向量 ．
作法：1．如图（2），任取一点 ，作 ， ；
2．作 OACB，于是 是所求作的向量。
例2 如图， 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，用 、 表示 、 、
和 ．
解：在中， ABCD ∵ ，
，
∴ ，
， ，
．
例3 如图， 、 不共线， ，用 、 表示 ．
解：∵ ，
∴
= ．
例4 已知梯形 中， ， ， 分别是 、 的中点，若 ， ，用 ， 表示 、 、 ．
解：（1）∵
∴ = =
（2）

（3）连接 ，则 ，
．
例5 已知在四边形 中， ， ， ，
求证： 是梯形。
证明：显然

=
∴ ， 又 点不在
∴ 是梯形。
五、小结：1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表
示。
六、作业：
补充：1．设 是 的重心.若 ， ，试用 ， 表示向量 .；
2．已知：如图， ， .
（1）求证： ；（2）求 与 的面积之比.
3．设 ， 是两个不共线向量，求 与

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