高中数学知识点：导数的概念及其几何意义

平均变化率:

一般地，对于函数y =f(x)，x_1,x₂是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率

上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．

函数y=f（x）在x=x₀处的导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x₀处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x₀处的导数，记作或，即。

导函数：

如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=

切线及导数的几何意义：

（1）切线：PP_n为曲线f（x）的割线，当点P_n（x_n，f（x_n））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x₀，f（x₀））时，割线PP_n趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x₀处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。

瞬时速度特别提醒：

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，

函数y=f（x）在x=x₀处的导数特别提醒：

①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x₀处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x₀处不可导或无导数．
②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．
③在点x=x₀处的导数的定义可变形为:

导函数的特点：

①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x₀处的函数值即为函数f(x)在点x₀处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．

导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：

①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x₀处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y₀ =f′(x₀)（x- x₀）．
②若函数在x= x₀处可导，则图象在(x₀，f(x₀))处一定有切线，但若函数在x= x₀处不可导，则图象在（x₀，f(x₀））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x₀，f(x₀))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f′（x₀）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x₀）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x₀) =0，切线与x轴平行；f′(x₀)不存在，切线与y轴平行．

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