集合的含义及其表示

1.1集合的含义及其表示
一.课标解读
1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”
2.重点:集合的概念与表示方法.
3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
二.要点扫描
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合 给定，若有一具体对象 ，则 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合 给定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于 ”或“不属于 ”。例如： 是集合 的元素，记作 ，读作“ 属于 ”； 不是集合 的元素，记作 ，读作“ 不属于 ”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作 。
5.集合的表示方法
⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合 可以用它的特征性质 描述为{ }，这表示在集合 中，属于集合 的任意一个元素 都具有性质 ，而不属于集合 的元素都不具有性质 。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
三.知识精讲
知识点1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
知识点2.区分 、{ }与{ }
是空集，是不含任何元素的集合；{ }不是空集，它是以一个 为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以 { }；{ }也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素 ，可见 { }， { }，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
知识点3.解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
四.典题解悟
-------------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]集合的判断
集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合
给定，若有一具体对象 ，则 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合 给定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程 ;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。
①③④不符合集合元素的确定性特征。
答案:
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。
①很小两实数可以构成集合；
② 与 是同一集合
③ 这些数组成的集合有5个数；
④集合 是指第二、四象限内的点集；
. 个 . 个 . 个 . 个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “”左边描述的元素，第一个集合是函数 的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则： ，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “”左边描述的元素，集合是点集，再看“”右边规定的元素的公共属性 ，第二、四象限内的点集的公共属性应为 ， 包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、 则 中的元素 应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足 ，解不等式组即得答案。
答案:
[题型二] 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于 ”或“不属于 ”。
例4、下列表述是否正确，说明理由。
⑴ {全体整数}
⑵ {实数集}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而 表示以实数集为元素的集合，它与 的关系是 。
答案: ⑴ {整数}，⑵ {实数}。
[题型三] 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合 可以用它的特征性质 描述为{ }，这表示在集合 中，属于集合 的任意一个元素 都具有性质 ，而不属于集合 的元素都不具有性质 。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ；
②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：
⑴①{ }；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ 。
解析：分析一个集合，首先要看“”左边，左边的记号表示元素；再看“”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素 是函数的自变量，⑷的元素 是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素 所满足的共同属性为 ,
⑵元素 易错点所满足的共同属性为 ，,故元素是有实根的一元二次方程；
⑶元素 所满足的共同属性为 ，即函数 中自变量 所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为 ，故元素为函数 的定义域中的所有实数；
⑷元素 所满足的共同属性为 ，即函数 中函数值 所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到 ，所以元素为函数 的值域中的所有实数。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合与方程。
例7、若方程 的解集是 求 . 的值。
解析:由解集是 可知这是个二次方程，即 ，
由韦达定理， ，解得
答案:
2．用数形结合的思想解集合问题。
例8、求集合 与集合 有公共元素的 的取值范围。
解析:集合 即为不等式 的解集，是大于 的所有实数；集合 即为不等式 的解集，是小于 的所有实数，在数轴上表示出两个集合，

可见，若要两个集合有公共部分，必须 。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的转化。
例9、若 ， 则 。
（填“ ”或“ ”）
解析:对 进行分母有理化, ，
令 ，则 。
答案:
-------------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例10．方程组 的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
错解：
正解：
分析：首先解这个方程组，得到一组解 ，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以 不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。
例11．下列四个关系中，正确的是…………………( )。
. .
. .
错解：
正解：
分析：首先， 选项中， 易错点 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一个 为元素的单元素集合，所以 { }； 选项中 是空集， { }是以一个 为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中 、 这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中 是集合，同时也是 的一个元素，所以 是正确的。
例12．下列各题中 与 表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
错解：
正解：
分析： 选项中集合 、 的元素都是有序数对，而 ，∴ ； 选项中 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一个 为元素的单元素集合，∴ ； 选项中集合 是函数 的值域，集合 是函数 图像上的所有点的集合，同样 ； 选项中集合 、 分别是函数 和函数 的值域，这两个函数值域相同，此题选 。
五.课本习题解析
六.同步自测
-------------------------------------------------------双基训练-------------------------------------------------------
1. 下面四个命题正确的是（ ）
以内的质数集合是 “个子较高的人”不能构成集合
方程 的解集是 偶数集为
2.下列关系正确的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
N R 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x x≤3 ,x∈R}，a= , b=2 , 则（ ）
a∈A且b A a A且b∈A
a∈A且b∈A a A且b A
4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）


5. 下面命题：
① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；
②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。
其中正确的是（ ）
③④ ②③ ①② ②

6.集合 面积为 的矩形 ， 面积为 的正三角形 ，则正确的是（ ）
A. 都是无限集
B. 都是有限集
C. 是有限集 是无限集
D. 是有限集 是无限集
7.用列举法表示集合： ；
8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；
9.设 都是非零的实数， 则 的值组成的集合的元素个数为 ；
10. 集合 中的元素 所应满足的条件是 ；
11.若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合是 ；
12.设直线 上的点集为 ，则 ，点（2，7）与 的关系为
（2，7） 。
13. 已知 ，若集合 中恰有3个元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={xx=a+b ，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x=0；（2）x= ；（3）x= 。
-------------------------------------------------------综合提高-------------------------------------------------------
16. 设下面8个关系式 ，
其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
17. 集合M={(x，y) ≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ）
A．第一象限的点
B．第三象限的点
C． 第一和第三象限的点
D． 不在第二象限也不在第四象限的点
18.下列各式中错误的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19. ,下列不属于 的是（ ）
. . . .
20.方程组 的解集可表示为① ② ③
④ ⑤
以上正确的个数是（ ）
5 个 4个 3个 2个
21.已知下列四个条件：
①数轴上到原点距离大于 的点的全体
②大于 且小于 的全体素数
③与 非常接近的实数的全体
④实数中不是无理数的所有数的全体
其中能够组成集合的是 ；
22. 关于 的方程 ，当实数 满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数 满足条件 时，方程的解集是无限集。
23.已知集合 ，用列举法表示 ；
24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ；
25.已知 求实数 的值
26. 已知集合 用列举法表示集合 。
27. 已知集合A= ，若A中元素至多只有一个，求实数 的取值范围。
七.相关链接
为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

高考解密
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05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②

参考答案
1.1集合与集合的表示方法------------------------------------------
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. { 或 }
12.
13. 6
14.
15. 令 ，则x
(2) x= = ,令 即可，x
(3) x= , x .
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. { }
25. 若 则 不成立； 成立；
若 则 不成立；
若 则 或 均不成立。
综上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若 满足题意；
若 。
综上所述， 或 。

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