逍遥学能 2013-06-29 19:42
§2.1 数列的概念
一、知识要点
1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n项, …数列的一般形式可以写成： ，其中 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。
2、数列的表示:
(1)列举法:将每一项一一列举出表示数列的方法.
(2)图像法:由(n,an)点构成的一些孤立的点;
(3)解析法:用通项公式an=f(n)（ ）表示.
通项公式：如果数列{ }中的第n项 与n之间的关系可以用一个公式表示，则称此公式为数列的 .
数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
思考与讨论:
①数列与数集有什么区别？
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；
确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？
③{ }与 有什么区别？
⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数
从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。
4、数列分类：
按项数分类： ， .
按项与项间的大小关系分类： ，
， ， .
5、任意数列{an}的前n项和的性质
= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求数列中最大最小项的方法：
最大 最小 ，考虑数列的单调性.
二、典例分析
题型1: 用观察法求数列的通项公式
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶ ， ， …；
⑷ ， ， ， ，…；
⑸ ， ， ， ， ，…；
根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面考虑：
⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项.
⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1调节，这是因为n和n+1奇偶交错.
⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.
⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10¬¬—n }等.
⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式表示.
题型2: 运用an与Sn的关系求通项
例2、已知数列 的前n项的和 .
⑴写出数列的通项公式；
⑵判断 的单调性.
题型3:运用函数思想解决数列问题
例3、已知数列 中， 它的最小项是（ ）
A.第一项B.第二项C.第三项D. 第二项或第三项
题型4: 递推数列
例4、⑴若数列 中， ，且各项满足 ，写出该数列的前5项．
⑵已知数列{an}中， ，且各项满足 ，写出该数列的前5项.
三、时作业
1.数列 …的一个通项公式是 （ ）
. .
. .
2.已知数列 满足 ,则数列 是( )
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
3.已知数列 的首项 且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
4.已知数列 中, ,
则 等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列{ }的前 项和 ，第 项满足 ，则 （ ）
A． B． C. D．
7.数列 ，…，则按此规律， 是这个数列的第 项.
8.已知数列 的通项公式 ，则 = ， 65是它的第 项.
9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______.
10.写出下列数列的通项公式：
① ， ， ， ，．．．；
② ， ， ， ，．．．；
③ ， ， ， ，．．．；
④ ， ， ， ， ，．．．；
⑤ ， ， ， ，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2） 是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间 内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.
12.已知数列 的通项公式为 .
(1)试问 是否是数列 中的项?
(2)求数列 的最大项.