逍遥学能 2013-06-26 17:31
4.6 三角函数的图象与性质（二）
●知识梳理
1.三角函数的图象和性质
函 数
性 质y=sinxy=cosxy=tanx
定义域
值域
图象
奇偶性
周期性
单调性
对称性
注：读者自己填写.
2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.
●点击双基
1.函数y=sin（ －2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC. D.4π
解析：y= cos2x－ sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
解析：检验.
答案：B
3.函数y=2sin（ －2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是
A.［0， ］B.［ ， ］
C.［ ， ］D.［ ，π］
解析：由y=2sin（ －2x）=－2sin（2x－ ）其增区间可由y=2sin（2x－ ）的减区间得到，即2kπ+ ≤2x－ ≤2kπ+ ，k∈Z.
∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.
令k=0，故选C.
答案：C
4.把y=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.
解析：向左平移 个单位，即以x+ 代x，得到函数y=sin（x+ ），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍，即以 x代x，得到函数：y=sin（ x+ ）.
答案：y=sin（x+ ） y=sin（ x+ ）
5.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______.
解析：由cosx－sinx＞0 cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－ ＜x＜2kπ+ （k∈Z）.
答案：2kπ－ ＜x＜2kπ+ （k∈Z）
●典例剖析
【例1】 （1）y=cosx+cos（x+ ）的最大值是_______；
（2）y=2sin（3x－ ）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.
剖析：（1）y=cosx+ cosx－ sinx
= cosx－ sinx= （ cosx－ sinx）
= sin（ －x）.
所以ymax= .
（2）T= ，相邻对称轴间的距离为 .
答案：
【例2】 （1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域.
剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角.
解：（1）0≤cosx＜1 2kπ－ ≤x≤2kπ+ ，且x≠2kπ（k∈Z）.
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－ ，2kπ+ ］且x≠2kπ，k∈Z｝.
（2）由sin（cosx）＞0 2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－ ，2kπ+ ），k∈Z｝.
评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.
【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.
剖析：将原函数化成y=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－ sin22x= cos4x+ .
∴T= .
当cos4x=1，即x= （k∈Z）时，ymax=1.
深化拓展
函数y=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，y的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______.
分析：你知道函数的周期T吗?
答案：π
●闯关训练
夯实基础
1.若函数f（x）=sin（ωx+ ）的图象（部分）如下图所示，则ω和 的取值是
A.ω=1， = B.ω=1， =－
C.ω= ， = D.ω= ， =－
解析：由图象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .
又当x= 时，y=1，∴sin（ × + ）=1，
+ =2kπ+ ，k∈Z，当k=0时， = .
答案：C
2. f（x）=2cos2x+ sin2x+a（a为实常数）在区间［0， ］上的最小值为－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cos2x+ sin2x+a
=2sin（2x+ ）+a+1.
∵x∈［0， ］，∴2x+ ∈［ ， ］.
∴f（x）的最小值为2×（－ ）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函数y= 的定义域是_________.
解析：－sin ≥0 sin ≤0 2kπ－π≤ ≤2kπ 6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.
答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）
4.函数y=tanx－cotx的最小正周期为____________.
解析：y= － =－2cot2x，T= .
答案：
5.求函数f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
= = （1+sinxcosx）
= sin2x+ ，
所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈［ ， ］，函数y=cos2x－sinx+b+1的最大值为 ，试求其最小值.
解：∵y=－2（sinx+ ）2+ +b，
又－1≤sinx≤ ，∴当sinx=－ 时，
ymax= +b= b=－1；
当sinx= 时，ymin=－ .
培养能力
7.求使 = sin（ － ）成立的θ的区间.
解： = sin（ － ）
= （ sin － cos ） ｜sin －cos ｜=sin －cos
sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ （k∈Z）.
因此θ∈［4kπ+ ，4kπ+ ］（k∈Z）.
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围.
解：原方程sinx+cosx=k sin（x+ ）=k，在同一坐标系内作函数y1= sin（x+ ）与y2=k的图象.对于y= sin（x+ ），令x=0，得y=1.
∴当k∈［1， ）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解.
评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.
探究创新
9.已知函数f（x）=
（1）画出f（x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；
（2）判断f（x）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.
解：（1）实线即为f（x）的图象.
单调增区间为［2kπ+ ，2kπ+ ］，［2kπ+ ，2kπ+2π］（k∈Z），
单调减区间为［2kπ，2kπ+ ］，［2kπ+ ，2kπ+ ］（k∈Z），
f（x）max=1，f（x）min=－ .
（2）f（x）为周期函数，T=2π.
●思悟小结
1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.
2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.
●教师下载中心
点睛
1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.
2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.
拓展题例
【例1】 已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是
A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
解析：借助三角函数线易得结论.
答案：Ｄ
【例2】 函数f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－ ）2+a+ .
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－ ）2+a+ ≤
a－4≤（sinx－ ）2≤a－ .①
由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤
（sinx－ ） = ，（sinx－ ） =0.
∴要使①式恒成立，
只需 3≤a≤4.