逍遥学能 2013-06-10 17:09
北京市朝阳区-学年度高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（理工类） .11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为（共40分）和非（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集 , 集合 , , 则 ( )等于（ ）
?A． B． C． D．
2. 已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.在 中， 是 的中点， ，点 在 上，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6.函数 的图象与函数 的图象的交点个数是（ ）
A． B． C． D．
7.函数 是定义域为 的可导函数，且对任意实数 都有 成立．若当 时，不等式 成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列 是各项均为正数且公比不等于 的等比数列.对于函数 ，若数列 为等差数列，则称函数 为“保比差数列函数”.现有定义在 上的如下函数：
① ， ② ， ③ ， ④ ，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.设集合 ，B = ? ,则 .
10.设 是等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ， .
11.已知角 的终边经过点 ，则 ， .
12. 在 中，若 ， 的面积为 ，则角 .
13. 已知函数 满足： （ ），且 则 （用 表示），若 ，则 .
14.已知函数 .当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
设△ 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
（Ⅰ）求△ 的面积；
（Ⅱ）求 的值．
16.（本小题满分14分）
设数列 的前 项和为 .已知 ， ， .
（Ⅰ）写出 的值，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 为数列 的前 项和，求 ；
（Ⅲ）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
17.（本小题满分13分）
函数 部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数 的解析式，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）设函数 ，求函数 在区间
上的最大值和最小值．
18.（本小题满分13分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）当 时，求函数 在 上的最大值；
（Ⅱ）如果函数 在区间 上存在零点，求 的取值范围.
19.（本小题满分14分）
设函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若对任意 ，不等式 成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，设 ， ，试比较 与 的大小并说明理由．
20.（本小题满分13分）
给定一个 项的实数列 ，任意选取一个实数 ，变换 将数列 变换为数列 ，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数 可以不相同，第 次变换记为 ，其中 为第 次变换时选择的实数.如果通过 次变换后，数列中的各项均为 ，则称 ， ，…， 为 “ 次归零变换”.
（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “ 次归零变换”，其中 ；
（Ⅱ）证明：对任意 项数列，都存在“ 次归零变换”；
（Ⅲ）对于数列 ，是否存在“ 次归零变换”？请说明理由.