逍遥学能 2013-05-31 17:03
2013年高考数学总复习 11-2 复数的概念与运算但因为测试 新人教B版
1.(2011•福建理，1)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.2i∈S
[答案] B
[解析] i2＝－1∈S，故选B.
2．()(2011•天津，1)i是虚数单位，复数1－3i1－i＝( )
A．2－i B．2＋i
C．－1－2i D．－1＋2i
[答案] A
[解析] 1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i.
(理)(2011•安徽皖南八校联考)复数z满足z＝2－i1－i，则z－等于( )
A．1＋3i B．3－i
C.32－12i D.12＋32i
[答案] C
[解析] ∵z＝2－i1－i＝2－i1＋i2＝3＋i2，
∴z－＝32－12i，故选C.
3．(2011•揭阳一中月考)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则( )
A．a＝32，b＝12 B．a＝3，b＝1
C．a＝12，b＝32 D．a＝1，b＝3
[答案] A
[解 析] 1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i，
∴a－b＝1a＋b＝2，∴a＝32b＝12，故选A.
4．()(2011•东济南一模)设a是实数，且a1＋i＋1－i2是实数，则a等于( )
A.12 B．－1
C．1 D．2
[答案] B
[解析] ∵a1＋i＋1－i2＝a1－i2＋1－i2
＝1＋a2－1＋a2i是实数，
又∵a∈R，∴1＋a2＝0，∴a＝－1.
(理)(2011•东潍坊一模)复数z＝2＋i1＋i(∈R)是纯虚数，则＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] 因为z＝2＋i1－i2＝2＋2＋－22i是纯虚数，所以2＋＝0，－2≠0.得＝－2.
5．(2010•广东江门调研)已知复数z＝a＋i(其中a∈R，i为虚数单位)的模为z＝2，则a等于( )
A．1 B．±1
C.3 D．±3
[答案] D
[解析] ∵z＝2，∴a2＋1＝4，∴a＝±3.
6．()(2011•安徽，1)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ 12 D.12
[答案] A
[解析] 1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5＝2－a5＋2a＋15i为纯虚数，∴2－a5＝02a＋15≠0，∴a＝2.
(理)(2011•温州八校期末)若i为虚数单位，已知a＋bi＝2＋i1－i(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为( )
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵a＋bi＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2
＝12＋32i(a，b∈R)，
∴a＝12b＝32，
∵122＋322＝52>2，
∴点P12，32在圆x2＋y2＝2外，故选A.
7．规定运算a bc d＝ad－bc，若 z i－i 2＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.
[答案] 1－i
[解析] 由已知可得 z i－i 2＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.
8．(2011•无为中学 月考)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A、B、C.若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的值是________．
[答案] 5
[解析] ∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴－x＋y＝32x－y＝－2，解得x＝1y＝4，故x＋y＝5.
9．(2010•上海大同中学模考)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．
[答案] －512
[解析] z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，
∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.
10．(2010•江苏通州市调研)已知复数z＝a2－7a＋6a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[解析] (1)当z为实数时，a2－5a－6＝0a＋1≠0，∴a＝6，
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，a2－5a－6≠0a＋1≠0，
∴a≠－1且a≠6，
故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，a2－5a－6≠0a2－7a＋6＝0a＋1≠0
∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数.
11.()(2011•东北四市统考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋is in37°，则z1•z2为 ( )
A.12＋32i B.32＋12i
C.12－32i D.32－12i
[答案] A
[解析] z1•z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i•sin60°＝12＋32i，故选A.
(理)若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
[答案] D
[解析] ∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴cos2θ＝－1sin2θ＝0.
∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)，
∴θ＝kπ＋π2.令k＝0知，D正确．
12．如果复数(2＋i)(1＋i)是实数，则实数等于( )
A．1 B．－1
C.2 D．－2
[答案] B
[解析] ∵(2＋i)(1＋i)＝(2－)＋(3＋1)i是实数，∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得3＋1＝0，即＝－1.
13．(2011•南通调研)若复数z满足z＋i＝3＋ii，则z＝________.
[答案] 17
[解析] ∵z＝3＋ii－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴z＝17.
14．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________象限．
[答案] 三
[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的对应点在第三象限 ．
15．()设复数z＝lg(2－2－2)＋(2＋3＋2)i，当实数取何值时．
(1)z是纯虚数．
(2) z是实数．
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)由题意知lg2－2－2＝0，2＋3＋2≠0.
解得＝3.
所以当 ＝3时，z是纯虚数．
(2)由2＋3＋2＝0，得＝－1或＝－2，
又＝－1或＝－2时，2－2－2>0，
所以当＝－1或＝－2时，z是实数．
(3)由lg2－2－2<0，2＋3＋2>0.
解得：－1<<1－3或1＋3<<3.
(理)设z是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值 范围；
(2)设u＝1－z1＋z，那么u是不是纯虚数？并说明理由．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，
ω＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i，
∵ω是实数，∴b－ba2＋b2＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.
∵－1<ω<2，∴－12<a<1，
即z的实部的取值范围是－12，1.
(2)u＝1－z1＋z＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i，
∵－12<a<1，b≠0，∴u是纯虚数．
16．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分 别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组a－b＋2≥00≤a≤4b≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为16.
即事件“z－3i为实数”的概率为16.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
123456
1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4) (6,5)(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果 有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝1836＝12.
1．(2011•罗一中月考)已知复数z1＝cosα＋is inα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，复数z＝z1•z－2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵z＝(cosα＋isinα)•(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的对应点在第二象限，
∴sinα＋β<0－cosα＋β>0，∴角α＋β的终边在第三象限．
2．(2010•安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数ab∈R，则实数x的值为( )
A．－6 B．6
C.83 D．－83
[答案] C
[解析] ab＝3＋2i4＋xi＝3＋2i4－xi16＋x2＝12＋2x16＋x2＋8－3x16＋x2•i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.
3．(2010•泰安市质检)若 复数2＋ai1－i(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则a的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 2＋ai1－i＝2＋ai1＋i1－i1＋i＝a＋2i＋2－a2为纯虚数，∴2－a＝0a＋2≠0，∴a＝2.
4．若i是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p、q一共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
[答案] D
[解析] 由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以p2－q2＝q，2pq＝p.解得p＝0q＝0，或p＝0q＝－1，
或p＝32q＝12，或p＝－32q＝12，因此满足条件的实数p、q一共有4对．
5．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)对应点位于复平面的第________象限.
[答案] 二
[解析] 由于0<A<π2，0<B<π2且A＋B>π2
∴π2>A>π2－B>0
∴tanA>cotB，cotA<tanB
故复数z对应点在第二象限．
6．关于x的不等式x2－nx＋p>0(，n，p∈R)的解集为区间(－53，2)，则复数＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．
[答案] 三
[解析] ∵x2－nx＋p>0(、n、p∈R)的解集为(－53，2)，
∴<0－53＋2＝n>0－53×2＝p<0，∵<0，∴p>0，n<0.
故复数＋ni所对应的点位于复平面内的第三象限．
7．(2011•上海，19)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2.
[解析] 设z1＝(a＋2)＋bi，a，b∈R，
∵(z1－2)(1＋i )＝1－i，∴a－b＋(b＋a)i＝1－i.
∴a－b＝1a＋b＝－1∴a＝0b＝－1，∴z1＝2－i.
又设z2＝c＋2i，c∈R，则z1z2＝(2－i)(c＋2i)＝(2c＋2)＋(4－c)i
∵z1z2∈R，∴4－c＝0，c＝4，∴z2＝4＋2i.