逍遥学能 2013-05-21 01:07
1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则( )
A．B＝45°或135° B．B＝135°
C．B＝45° D．以上答案都不对
解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2
C.3 D.2
解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C⇒sin C＝12，
于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝2.
3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.
解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，
∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，
则根据正弦定理知AB＝BC•sin Csin A＝102.
答案：102
4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.
证明：如图所示，设∠ADB＝θ，
则∠ADC＝π－θ.
在△ABD中，由正弦定理得：
BDsin A2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①
在△ACD中，CDsin A2＝ACsinπ－θ，
∴CDAC＝sinA2sin θ.②
由①②得BDAB＝CDAC，
∴BDDC＝ABAC.
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是( )
A.53 B.35
C.37 D.57
解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B＝ab＝53.
2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，
又由正弦定理ac＝sin Asin C.
∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝( )
A．－223 B.223
C．－63 D.63
解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，
∴sin B＝10•sin 60°15＝10×3215＝33.
∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cos B＝1－sin2B＝1－332＝63.
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝( )
A．1 B．2
C.3－1 D.3
解析：选B.由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，
∴sin B＝12，故B＝30°或150°.
由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.
故C＝90°，由勾股定理得c＝2.
6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有( )
A．两解 B．一解
C．无解 D．无穷多解
解析：选B.因csin A＝23＜4，且a＝c，故有唯一解．
二、填空题
7．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25.
答案：25
8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.
答案：1∶1∶3
9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.
解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B，
∴sin B＝12.∵∠C为钝角，
∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，
∴∠A＝π6.
∴a＝b＝1.
答案：1
三、解答题
10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.
解：∵sin A∶sin B∶sin C＝a2R∶b2R∶c2R＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×415＝8.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．
解：法一：根据正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．
法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．
法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asin B＝5sin 120°＝532，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解．
12．在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．
解：法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a•a2R＝b•b2R，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．