倍角公式

第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + 

解： ∴
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴ ，
∴ ∴2 +  =
例二、已知sin  cos = ， ，求 和tan的值
解：∵sin  cos = ∴
化简得： ∴
∵ ∴ ∴ 即

二、积化和差公式的推导

sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos = [sin( + ) + sin(  )]
sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin = [sin( + )  sin(  )]
cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos = [cos( + ) + cos(  )]
cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin =  [cos( + )  cos(  )]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
例三、求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
=  (cos4  cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
=  cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、和差化积公式的推导
若令 +  = ，   = φ，则 ， 代入得：

∴



这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例四、已知cos  cos  = ，sin  sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos  cos  = ，∴ ①
sin  sin  = ，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
四、小结：和差化积，积化和差
五、作业： P40 1—3

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