逍遥学能 2013-05-11 20:28
1．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的( )
A．北偏西40° B．北偏东50°
C．北偏西50° D．南偏西50°
答案：A
2．已知A、B两地间的距离为10 k，B、C两地间的距离为20 k，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )
A．10 k B．103 k
C．105 k D．107 k
解析：选D.由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos∠ABC.
又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.
∴AC＝107.
3．在一座20 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________.
解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋3) .
答案：20(1＋3)
4．如图，一船以每小时15 k的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．
解：BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，
且∠BAC＝30°，AC＝60，
∠ABC＝180°－30°－105°＝45°.
∴BC＝302.
即船与灯塔间的距离为302 k.
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.
2．一艘船以4 k/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 k/h，则经过3 h，该船的实际航程为( )
A．215 k B．6 k
C．221 k D．8 k
解析：选B.v实＝
22＋42－2×4×2×cos 60°＝23.
∴实际航程＝23×3＝6(k)．故选B.
3.
如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 ，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于( )
A．10 B．53
C．5(3－1) D．5(3＋1)
解析：选D.在△ADC中，
AD＝10•sin 135°sin 15°＝10(3＋1)()．
在Rt△ABD中，AB＝AD•sin 30°＝5(3＋1)()
4．(2011年无锡调研)我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
A．28海里/小时 B．14海里/小时
C．142 海里/小时 D．20海里/小时
解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB•ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小时．
5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，
则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.
化简得：4t2－82t＋7≤0，
∴t1＋t2＝22，t1•t2＝74.
从而t1－t2＝t1＋t22－4t1t2＝1.
6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A．1002米 B．400米
C．2003米 D．500米
解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC•CD•cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h•500，
解之得h＝500(米)，故选D.
二、填空题
7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原的高度为________米．
答案：10＋53
8.
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________．
解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而所求为北偏西10°.
答案：北偏西10°
9．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．
解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得
cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD•CD
＝400＋900－7002×20×30＝12.
∴∠ACD＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(分钟)．
答案：403
三、解答题
10．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长．
解：由题意知△ACD为正三角形，
所以AC＝CD＝1000米．
在△BCD中，∠BDC＝90°，
所以BC＝CDcos∠BCD＝1000cos 30°＝200033米．
在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－2AC•BC•cos 30°
＝10002＋200023－2×1000×200033×32
＝10002×13，
所以AB＝100033米．
11．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20 ，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．
解：设旗杆的高度为h，
由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30°＝3h.
在Rt△BOP中，OB＝OPtan 45°＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA•OBcos 60°，
即202＝(3h)2＋h2－23h×h×12.
解得h2＝4004－3≈176.4.
∴h≈13()．
∴旗杆的高度约为13 .
12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
解：如图所示，若“黄”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，
根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2•AC•BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
∴t＝23或t＝－512(舍)．
∴AB＝21×23＝14(海里)．
即“黄”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．