逍遥学能 2013-05-07 13:34
池州一中2012-2013学年度高三月考
数学试卷(理科)
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
⒈ 已知 ， ，则 （ ）
A． B．R C． D．N
⒉ 设 ，则（ ）
A． B． C． D．
⒊ 设 为表示不超过 的最大整数,则函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
⒋ 设 为实数，函数 在 处有极值，则曲线 在原点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
⒌ Direchlet函数定义为： ，关于函数 的性质叙述不正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 为偶函数
C． 不是周期函数 D． 不是单调函数
⒍ 命题“函数 是奇函数”的否定是（ ）
A． , B． ,
C． , D． ，
⒎ 把函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象（如图），则 （ ）
A． B． C. D.
⒏ 已知向量 ， ， ，则向量 在向量 方向上的
投影是（ ）
A． B． C． D．
⒐ 设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
⒑ 已知 是定义在R上的奇函数，满足 .当 时， ，则函数 在区间[0,6]上的零点个数是( )
A．3 B．5 C．7 D．9
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，计25分.
⒒ 已知函数 ，则 .
⒓ 一物体沿直线以 （ 的单位：秒， 的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻 到5秒运动的路程 为 米.
⒔ 已知 ， ，则 .
⒕ 已知含有4个元素的集合 ，从中任取3个元素相加，其和分别为2， ， ，3，则 .
⒖ 函数 的图象形如汉字“?”，故称其为“?函数”.下列命题正确的是 .
①“?函数”的值域为 ； ②“?函数”在 上单调递增；
③“?函数”的图象关于 轴对称； ④“?函数”有两个零点；
⑤“?函数”的图象与直线 的图象至少有一个交点.
三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的字说明，证明过程或演算步骤.
⒗（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 , .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程 在区间 上有实数根，求 的取值范围.
⒘（本小题满分12分）
已知命题 :实数 满足 ；命题 ：实数 满足 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
⒙（本小题满分13分）
已知 ， ， ，…， .
（Ⅰ）请写出的 表达式（不需证明）；
（Ⅱ）求 的极小值 ；
（Ⅲ）设 ， 的最大值为 ， 的最小值为 ，试求 的最小值.
⒚（本小题满分12分）
已知 的内角 所对的边分别是 ，设向量 ， ， .
（Ⅰ）若 // ，求证： 为等腰三角形；
（Ⅱ）若 ⊥ ，边长 ， ，求 的面积.
⒛（本小题满分12分）
如图,在 中,设 , , 的中点为 , 的中点为 , 的中点恰为 .
（Ⅰ）若 ,求 和 的值;
（Ⅱ）以 , 为邻边, 为对角线,作平行四边形 ,
求平行四边形 和三角形 的面积之比 .
21.（本小题满分14分）
已知函数 在 上有定义，对任意实数 和任意实数 ，都有 .
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）证明 （其中k和h均为常数）；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中 的时，设 ，讨论 在 内的单调性.
池州一中2013届高三第三次月考(10月)
数学（理科）答案
一、选择题：
题号12345678910
答案DAC BCACAB D
二、填空题
题号1112131415
答案
③⑤
三、解答题
⒗（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ） ，
由 ，解得 ，
即 在每一个闭区间 上单调递减。
（Ⅱ）由 ，得 ，故k在 的值域内取值即可.
17．解：令
∵ “若 则 ”的逆否命题为 “若 则 ”,又 是 的必要不充分条件，∴ 是 的必要不充分条件，
∴A B ，故
18．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增。
故 ；
（Ⅲ）
，由（Ⅱ）知 ，从而令
在 上为增函数，
且 而
，使得 则 在 上单调递减，
在 上单调递增，而 ，
19.【解析】证明：（Ⅰ）∵ ∥ ，∴ ，即 ，
其中 是 外接圆半径， --------（5分）
为等腰三角形 --------（6分）
解（Ⅱ）由题意可知 ⊥ ， --------（8分）
由余弦定理可知，
---------（10分）
………………………（12分）
20．（1）解：∵Q为AP中点，∴ P为CR中点，
∴
同理：
而 ∴
即
（2）
∴
21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。
（Ⅰ）证明：对于任意的a>0， ，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）证法一：当 时，由①得
取 ，则有 ③
当 时，由①得
取 ，则有 ④
综合②、③、④得 ;
证法二:
令 时，∵ ，∴ ，则
而 时， ，则
而 ， ∴ ，即 成立
令 ，∵ ，∴ ，则
而 时， ，则
即 成立。综上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当 时， ，
从而
又因为k>0，由此可得
－0+
?极小值2?
所以 在区间 内单调递减，在区间（ ）内单调递增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，当 时， ，
设 则
又因为k>0，所以
（i）当 ；
（ii）当
所以 在区间 内单调递减, 在区间（ ）内单调递增.