逍遥学能 2013-04-17 10:53
2013年高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算但因为测试 新人教B版
1.()(2011•宁波十校联考)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )
A.PA→＋PB→＝0 B.PC→＋PA→＝0
C.PB→＋PC→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0
[答案] B
[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，故PA→＋PC→＝0.
(理)(2011•广西六校联考、北京石景检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么( )
A.AO→＝OD→ B.AO→＝2OD→
C.AO→＝3OD→ D．2AO→＝OD→
[答案] A
[解析] ∵OB→＋OC→＝2OD→，
∴2OA→＋2OD→＝0，∴AO→＝OD→.
2．()(2011•皖南八校联考)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b的”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故选A.
(理)(2011•广东江门市模拟)若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)•AC→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
[答案] B
[解析] 由AB→＋CD→＝0知，AB→＝DC→，
即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．
又(AB→－AD→)•AC→＝0，∴DB→•AC→＝0，即AC⊥BD，
因此四边形ABCD是菱形，故选B.
3．()如图所示，在△ABC中，BD→＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB→＝a，AC→＝b，则BE→等于( )
A.13a＋13bB．－12a＋14b
C.12a＋14bD．－13a＋13b
[答案] B
[解析] ∵AE→＝3ED→，∴ED→＝14AD→，
∵BD→＝12DC→，∴BD→＝13BC→，
∴BE→＝BD→－ED→＝BD→－14AD→＝BD→－14(AB→＋BD→)
＝34BD→－14AB→＝14BC→－14AB→
＝14AC→－12AB→＝14b－12a.
(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于 点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝( )
A.14a＋12b B.13a＋23b
C.12a＋14b D.23a＋13b
[答案] D
[解析] 由条件易知，DF→＝13DC→，
∴AF→＝AC→＋CF→＝a＋23CD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.故选D.
4． (2011•福建福州质量检查)如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a、b如图，则向量a－b可表示为( )
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[答案] C
[解析] 连接图中向量a与b的终点，并指向a的终点的向量即为a－b，∴a－b＝e1－3e2.
5．()(2011•厦门模拟)已知点在平面ABC内，并且对空间任一点O，O→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为( )
A．0 B.13
C.12 D.16
[答案] D
[解析] ∵x＋12＋13＝1，∴x＝16.
(理)(2011•惠州模拟)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝λCA→＋μCB→，则μλ的值为( )
A．1 B.12
C．2 D.13
[答案] C
[解析] CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→
＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→
∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.
6．设OA→＝e1，OB→＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，AP?PB＝2，如图所示，则OP→＝( )
A.13e1－23e2B.23e1＋13e2
C.13e1＋23e2D.23e1－13e2
[答案] C
[解析] AP→＝2PB→，∴AB→＝AP→＋PB→＝3PB→，
OP→＝ OB→＋BP→＝OB→－13AB→
＝OB→－13(OB→－OA→)＝13e1＋23e2.
7.(2011•东济南市调研)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝AB→＋211AC→，则实数的值为________．
[答案] 311
[解析] (如图)因为AP→＝AB→＋BP→
＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)
＝AB→＋k(14AC→－AB→)
＝(1－k)AB→＋k4AC→，
所以1－k＝，且k4＝211，
解得k＝811，＝311.
8．()(2011•合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则AC→AB→＝________.
[答案] 13
[解析] ∵OC→＝23OA→＋13OB→，23＋13＝1，
∴A、B、C三点共线，
∵AC→＝OC→－OA→＝13OB→－13OA→＝13AB→，
∴AC→AB→＝13.
(理)(2011•聊城模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中， λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
[答案] 43
[解析]
如图，∵ABCD是▱，且E、F分别为CD、BC中点．
∴AC→＝AD→＋AB→
＝(AE→－DE→)＋(AF→－BF→)
＝(AE→＋AF→)－12(DC→＋BC→)＝(AE→＋AF→)－12AC→，
∴AC→＝23(AE→＋AF→)，
∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
9．(2011•泰安模拟)设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p 的值是________．
[答案] －1
[解析] ∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.
即2＝2λp＝－λ，∴p＝－1.
10．()如图，在平行四边形ABCD中，、N分别为DC、BC的中点，已知A→＝c，AN→＝d，试用c、 d表示AB→、AD→.
[解析] 解法一：AD→＝A→－D→＝c－12AB→ ①
AB→＝AN→－BN→＝d－12AD→ ②
由①②得AB→＝23(2d－c)，
AD→＝23(2c－d)．
解法二：设AB→＝a，AD→＝b，因为、N分别为CD、BC的中点，所以BN→＝12b，D→＝12a，于是有：
c＝b＋12ad＝a＋12b，解得a＝232d－cb＝232c－d，
即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．
(理)如图，在△ABC中，A?AB＝1?3，AN?AC＝1?4，BN与C交于P点，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.
[分析] 由已知条件可求A→、AN→，∵BN与C相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、共线，因此，可以设PN→＝λBN→，P→＝μC→，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设BP→＝λBN→，用a、b，λ表示CP→与C→，利用CP→与C→共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”章．
[解析] 由题意知：A→＝12AB→＝13a，AN→＝14AC→＝14b.
BN→＝AN→－AB→＝14b－a，C→＝A→－AC→＝13a－b
设PN→＝λBN→，P→＝μC→，则PN→＝λ4b－λa， P→＝μ 3a－μb.
∴AP→＝AN→－PN→＝14b－(λ4b－λa)＝λa＋1－λ4b，
AP→＝A→－P→＝13a－(μ3a－μb)＝1－μ3a＋μb，
∴λ a＋1－λ4b＝1－μ3a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP→＝311a＋211b.
[点评] ∵P是CD与BE的交点，故可设DP→＝λDC→，利用B、P、E共线，∴BP→与BE→共线，求出λ，从而AP→＝AD→＋DP→获解.
11.(2011•东青岛质检)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→＝a1OA→＋a2010OB→，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于( )
A．1005 B．1006
C．2010 D．2012
[答案] A
[解析] 由题意知，a1＋a2010＝1，
又数列{an}为等差数列，
所以S2010＝a1＋a20102×2010＝1005，故选A.
12．()(2011•安徽安庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为( )
A.34S B.23S
C.12S D.25S
[答案] C
[分析]
由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(PA→＋PB→)＋2(PB→＋PC→)＝0，故可先构造出PA→＋PB→与PB→＋PC→，假设P为P′点，取AB、BC中点、N，则P→＝12(PA→＋PB→)，PN→＝12(PB→＋PC→)，条件式即转化为P→与PN→的关系．
[解析] 设AB，BC的中点分别为，N，
则P→＝12(PA→＋PB→)，
PN→＝12(PB→＋PC→)，
∵3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，
∴3(PA→＋PB→)＝－2(PB→＋PC→)，
∴3P→＝－2PN→，即点P在中位线N上，
∴△PAC的面积为△ABC面积的一半，故选C.
(理)(2011•东北三校联考)在△ABC中，点P是AB上的一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为，又C→＝tCP→，则t的值为( )
A.12 B.23
C.34 D.45
[答案] C
[解析] ∵CP→＝23CA→＋13CB→，
∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，
∴2AP→＝PB→，
因此P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，，Q三点共线，
∴C→＝xCQ→＋(1－x)CA→
＝x2CB→＋(x－1)AC→(0<x<1)，
∵CB→＝AB→－AC→，∴C→＝x2AB→＋(x2－1)AC→.
∵CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，
且C→＝tCP→(0<t<1)，
∴x2AB→＋(x2－1)AC→＝t(－AC→＋13AB→)，
∴x2＝t3且x2－1＝－t，解得t＝34，故选C.
13．已知点A(2,3)，C(0,1)，且AB→＝－2BC→，则点B的坐标为________．
[答案] (－2，－1)
[解析] 设点B的坐标为(x，y)，则有AB→＝(x－2，y－3)，BC→＝(－x,1－y)，因为AB→＝－2BC→，
所以x－2＝2x，y－3＝－21－y，解得x＝－2，y＝－1.
14．()(2010 •浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→， B→＝12C→，则N→＝________(用e1，e2表示)
[答案] －23e1＋512e2
[解析] ∵NC→＝14AC→＝14e2，∴CN→＝－14e2，
∵B→＝12C→，B→＋C→＝BC→＝AC→－AB→＝e2－e1，
∴C→＝23(e2－e1)，∴N→＝C→＋CN→＝23(e2－e1)－14e2＝－23e1＋512e2.
(理)(2010•聊城市模拟)已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．
[答案] －2
[解析] 如图，∵D是BC中点，将△ABC补成平行四边形ABQC，则Q在AD的延长线上，且AQ＝2AD＝2DP，∵PA→＋BP→＋CP→＝BA→＋CP→＝0，∴BA→＝PC→，
又BA→＝QC→，∴P与Q重合，
又∵AP→＝λPD→＝－2PD→，∴λ＝－2.
15．()已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量AB→、CD→共线．
(2)当两向量AB→与CD→共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析] (1)AB→＝(x,1)，CD→＝(4，x)．
∵AB→∥CD→，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
(2)当x＝±2时，AB→∥CD→.
当x＝－2时，BC→＝(6，－3)，AB→＝(－2,1)，
∴AB→∥BC→.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
(理)(2011•济南模拟)已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP→＝OA→＋λa＋λb ，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
[解析] 依题意，由OP→＝OA→＋λa＋λb，
得OP→－OA→＝λ(a＋b)，
即AP→＝λ(AB→＋AC→)．
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，
则AP→＝λAD→，
∴A、P、D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△ABC的重心)．
1．(2010•新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，若OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一：设AC的中点为G，则OB→＋OD→＝b＋d＝a＋c＝OA→＋OC→＝2OG→，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．
解法二：AB→＝OB→－OA→＝b－a，
CD→＝OD→－OC→＝d－c＝－(b－a)＝－AB→，
∴AB?CD，∴四边形ABCD为平行四 边形．
2．(2011•银川模拟)已知a、b是两个不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[答案] D
[解析] ∵A、B、C三点共线，∴AB→与AC→共线，
∴存在t∈R，使AB→＝tAC→，
∴λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，
∵a，b不共线，∴λ＝t1＝tμ，即λμ＝1.
3．设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解析] (1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)
＝5(a＋b)＝5AB→.
∴AB→、BD→共线，
又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
4．已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量OP→＝OA→＋tAB→.
(1)t为何值时，点P在x轴上？
(2)t为何值时，点P在第二象限？
(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
(4)求点P的轨迹方程．
[解析] ∵OP→ ＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)
＝(1＋3t,2＋3t)，
∴P(1＋3t,2＋3t)．
(1)∵P在x轴上，∴2＋3t＝0即t＝－23.
(2)由题意得1＋3t<02＋3t>0.∴－23<t<－13.
(3)∵AB→＝(3,3)，OP→＝(1＋3t,2＋3t)．
若四边形ABPO为平行四边形，则AB→＝OP→，
∴1＋3t＝32＋3t＝3，而上述方程组无解，
∴四边形ABPO不可能为平行四边形 ．
(4)∵OP→＝(1＋3t,2＋3t)，
设OP→＝(x，y)，则x＝1＋3ty＝2＋3t，
∴x－y＋1＝0为所求点P的轨迹方程．