构造直角三角形解题

在解某些问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。
1、求线段长
［例1］在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。
解：延长AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。

在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30°
得AF=2AB=4

同理可得CF=2，DF=
∴BC=BF－CF=，AD=AF－DF=4－。
2、求角的度数
［例2］如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D在AC的延长线上，AB=CD。求∠CBD。

解：作AE⊥BC于E，连DE，在Rt△ABE中
，BE=AE，在Rt△AEC中，
所以。则AB=
而AB=，故CE=CD
∠1=∠2=∠ACB=30°
又∠EAC=30°，所以DE=AE=BE
所以∠CBD=∠3=∠1=15°
3、证线段倍分
［例3］如图，∠B=90°，∠1=∠2=60°，∠C=45°，求证：CD＋BD=AB。
证明：把△ABD绕AD翻转到△AB”D的位置，则B”D=BD，AB”=AB，∠B”=∠B=90o，∠2=∠3。

由∠1＋∠2＋∠3=180°，知C、D、B”三点共线，故△AB”C为等腰直角三角形，从而有：CD＋B”D=AB”，∴CD＋BD=AB。
4、证不等
［例4］如图，在△ABC中，BC>AC，AD、BE为高，
求证：BC＋AD>AC＋BE。

证明：由题意，在BC上取一点A”，使A”C=AC，作A”D”⊥AC于D”，A”F⊥BE于F，则四边形EFA”D”为矩形，得A”D”=FE
又有Rt△A”D”C≌Rt△ADC，于是A”D”=AD
∴BA”=BC－A”C=BC－AC
BF=BE－FE=BE－A”D”=BE－AD
在Rt△A”BF中，BA”>BF，即BC－AC>BE－AD
∴BC＋AD>AC＋BE.
5、解三角问题
［例5］求cot22.5°的值。
解：构造如图所示的Rt△ABC，则
cot22.5°=

6、解代数问题
［例6］若a>3，求证：。
证明：作出如图所示的Rt△ABC，由BD＋AD>AB，得

∴

7、求最值
［例7］若m、n、p为正实数，且，求：的最小值。
解：构造如图所示的直角三角形，易知CD≤AE，即
&there4 中考;
故的最小值为

［例8］求的最小值。
解：构造如图所示的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P，使PA＋PB的值最小”，取A点关于L的对称点A”，则有：
原式=PA＋PB≥A”B
故的最小值是5。


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