逍遥学能 2013-04-02 16:24
广东省附城中学2013届高三数学（理）一轮复习第六章三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A组
1．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．
解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin2(α－β)＝31010.
∵sinα＝55，∴cosα＝ 1－(55)2＝255.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.
∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π4
2．已知0<α<π2<β<π，cosα＝35，sin(α＋β)＝－35，则cosβ的值为________．
解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sinα＝45，cos(α＋β)＝－45，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－2425
3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31－3＝－32.答案：－32
4．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．
解析：由已知得32cosα＋12sinα＋sinα＝453，即12cosα＋32sinα＝45，
得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－45
5．(原创题)定义运算a?b＝a2－ab－b2，则sinπ12?cosπ12＝________.
解析：sinπ12?cosπ12＝sin2π12－sinπ12cosπ12－cos2π12＝－(cos2π12－sin2π12)－12×2sinπ12cosπ12＝－cosπ6－12sinπ6＝－1＋234.答案：－1＋234
6．已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝62.
(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值．
解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方得sinα＝12.
又π2<α<π.所以cosα＝－32.
(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.
B组
1.cos2α1＋sin2α•1＋tanα1－tanα的值为________．
解析：cos2α1＋sin2α•1＋tanα1－tanα＝cos2α－sin2α(sinα＋cosα)2•1＋tanα1－tanα
＝cosα－sinαsinα＋cosα•1＋tanα1－tanα＝1－tanα1＋tanα•1＋tanα1－tanα＝1.
2．已知cos(π4＋x)＝35，则sin2x－2sin2x1－tanx的值为________．
解析：∵cos(π4＋x)＝35，∴cosx－sinx＝352，
∴1－sin2x＝1825，sin2x＝725，∴sin2x－2sin2x1－tanx＝2sinx(cosx－sinx)cosx－sinxcosx＝sin2x＝725.
3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tanα＝________.
解析：cos(α＋π3)＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝12cosα－32sinα，sin(α－π3)
＝sinαcosπ3－cosαsinπ3＝12sinα－32cosα，
由已知得：(12＋32)sinα＝(12＋32)cosα，tanα＝1.
4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.
解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.
∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]
＝－cos(α－π4)•cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)•sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，
即sin(α＋β)＝5665.
5．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.
6．已知角α在第一象限，且cosα＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.
解析：∵α在第一象限，且cosα＝35，∴sinα＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cosα＝2cos2α＋2sinαcosαcosα＝2(sinα＋cosα)＝2(45＋35)＝145.
7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(π2，π)，若a•b＝25，则tan(α＋π4)的值为________．
解析：a•b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35，又α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，tanα＝－34，∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.
8.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______．
解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°•tan10°＝3，
故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33.
9．已知角α的终边经过点A(－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cosα＝－2.
10．求值：cos20°sin20°•cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°
＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°
＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°
＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°
＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2.
11．已知向量＝(2cosx2，1)，n＝(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)＝•n－1.
(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．
解：(1)f(x)＝•n－1＝(2cosx2，1)•(sinx2，1)－1＝2cosx2sinx2＋1－1＝sinx.
∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．
(2)∵f(A)＝513，f(B)＝35，∴sinA＝513，sinB＝35.
∵A，B都为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1213，cosB＝1－sin2B＝45.
∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝513×45＋1213×35＝5665.∴f(C)的值为5665.
12．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋22sinβ＝13，
∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.
法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos2(β－π4)－1＝－79.
(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.
∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)
＝－35×13＋45×223＝82－315.
第二节 两角和与差及二倍角的三角函数
A组
1．若sinα＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.
解析：由于α∈(－π2，π2)，sinα＝35得cosα＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cosα－sinα)＝－210.
2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cosθ＝________.
解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.
12＋12 12＋12cosθ＝ 12＋12 cos2θ2
＝ 12－12cosθ2＝sinθ4.
3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.
解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin240°＝2cos50°2sin40°＝2.
4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin(2x＋π4)＋1≥1－2.
5．函数f(x)＝(sin2x＋12010sin2x)(cos2x＋12010cos2x)的最小值是________．
解析：f(x)＝(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1)20102sin2xcos2x
＝20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋120102sin2xcos2x
＝sin2xcos2x＋201120102sin2xcos2x－22010≥22010(2011－1)．
6．已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．
解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又α∈(π4，π2)，∴tanα＝43，sinα＝45，cosα＝35，
(1)tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝43＋11－43＝－7.
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，
cos(π3－2α)＝cosπ3cos2α＋sinπ3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750.
B组
1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.
解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322.
2．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝9sin2α＋sin2α9sin2α－6sin2α＝103.
3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是
解析：a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴a<c<b.
或a2＝1＋sin28°<1＋12＝32，b2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c2＝32，∴a<c<b.
4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．
解析：原式＝4cos24＋2(sin4－cos4)2＝2cos4＋2sin4－cos4＝－2sin4.
5．若tanα＋1tanα＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．
解析：由题意知，tanα＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tanα1＋tan2α＝35，cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210.
6．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x•sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．
解析：f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝12sin4x，所以T＝2π4＝π2.
7． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．
解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.
8．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，a－2b＝________________.
解析：a－2b2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴a－2b＝3.
9．已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.
解析：因为1－cos2αsinαcosα＝1，即1－1－tan2α1＋tan2α＝12×2tanα1＋tan2α，所以2tanα＝1，即tanα＝12，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tanα1＋tan(β－α)tanα＝－13－121－16＝－1.
10．已知tanα＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α的值．
解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα，tanα＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.
(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α2cos2α＝2sinα＋cosα2cosα＝tanα＋12＝52.
11．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA＝α.
(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求BC2的值．
解：(1)∵A的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα＝45，cosα＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sinαcosα2cos2α＝4918.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴cos∠COB＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310，
∴BC2＝OC2＋OB2－2OC•OBcos∠COB＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.
12．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求角A，C.(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.
解：(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.
又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，
得A＝π4，B＝5π12.故A＝π4，C＝π3.
(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即 a22＝c32，
得a＝22，c＝23.