逍遥学能 2013-04-01 19:21
2013年高考数学总复习 12-2 坐标系与参数方程但因为测试 新人教B版
1.(2011•北京海淀期中)在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，则下列各点中，在圆C上的是( )
A．(1，－π3) B．(1，π6)
C．(2，3π4) D．(2，5π4)
[答案] A
[解析] 将备选答案代入圆C的方程，因为2cos(－π3)＝2×12＝1，所以A成立．
2．(2010•湖南，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．圆、直线
[答案] D
[解析] 由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．
消去方程x＝－1－ty＝2＋t中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．
3．()(2011•湖南十二校联考)若直线的参数方程为x＝1＋3ty＝2－3t(t为参数)，则直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] D
[解析] 由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
(理)直线的参数方程为x＝tsin50°－1y＝－tcos50°(t为参数)，则直线的倾斜角为( )
A．40° B．50°
C．140° D．130°
[答案] C
[解析] 将直线的参数方程变形得，x＝－1－tcos140°y＝－tsin140°，∴倾斜角为140°.
4．()(2011•皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝ty＝t＋1(t∈R)，圆的参数方程为x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离为( )
A．0 B．2
C.2 D.22
[答案] C
[解析] 化直线l的参数方程x＝ty＝t＋1(t∈R)为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的参数方程x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1,0)到直线l的距离为1－0＋112＋－12＝2.
(理)(2011•上海奉贤区摸底)已知点P(3，)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则PF＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.
5．()(2011•北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1 D．ρsi nθ＝1
[答案] C
[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.
(理)(2011•衡阳市联考)在极坐标系中，曲线ρcosθ＋ρsinθ＝2(0≤θ<2π)与θ＝π4的交点的极坐标为( )
A．(1,1) B．(1，π4)
C．(2，π4) D．(－2，π4)
[答案] C
[解析] 将θ＝π4代入到ρcosθ＋ρsinθ＝2中得交点(2，π4)．
[点评] 本题也可以先化为直角坐标方程求解，但求出交点后还需要再化为极坐标，不如直接求解简便．
6．抛物线x2－2y－6x sinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
[答案] B
[解析] 原方程变形为：y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ.设抛物线的顶点为(x，y)，则x＝3sinθy＝4cosθ，消去参数θ得轨迹方程为x29＋y216＝1.它是椭圆．
7．()极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则AB的最小值为________．
[答案] 1
[解析] ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ
∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1 )2＝1；
∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，
易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故ABin＝1.
(理)(2011•安徽“江南十校”联考)在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．
[答案] 相离
[解析] 直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C(1,0)，半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝22＝2>1，故直线与圆相离．
8．()(2010•湖南师大附中)已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
[答案] 23，π6
[解析] 化为直角坐标方程为x＝3和x2＋y2＝4x(y≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为23，π6.
[点评] 可直接解ρcosθ＝3ρ＝4cosθ，得ρ＝23θ＝π6.
(理)(2010•广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．
[答案] (1，π2)
[解析] 曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1y－x＝1，得x＝0y＝1，则交点为(0,1)，对 应的极坐标为(1，π2)．
[点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标，
由ρcosθ＋ρsinθ＝1ρsinθ－ρcosθ＝1得，ρcosθ＝0ρsinθ＝1，
∵ρ≠0，∴cosθ＝0，∴θ＝π2＋kπ (k∈Z)，
∴sinθ＝±1，∵ρ>0，∴sinθ＝1，
∴θ＝π2＋2nπ(n∈Z)，ρ＝1，
令n＝0得，交点的一个极坐标为(1，π2)．
9．()直线x＝1＋4t，y＝－1－3t(t为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．
[答案] 75
[解析] 由x＝1＋4ty＝－1－3t得直线方程为3x＋4y＋1＝0，
∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cosθ－sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，
即(x－12)2＋(y＋12)2＝12.
圆心到直线的距离d＝110，
∴弦长＝2×12－1100＝75.
(理)(2011•安徽皖南八校联考)已知直线l的参数方程是x＝1＋12ty＝32t(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长等于________．
[答案] 4
[解析] 依 题意得，直线l的普通方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0；圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心C(1,2)到直线l的距离d＝3×1－2－33＋1＝1，因此直线l被圆C所截得的弦长等于252－12＝4.
[点评] ∵(12)2＋(32)2＝1，∴可只将⊙C方程化为普通方程x2＋y2－2x－4y＝0，
将x＝1＋12ty＝32t代入得t2－23t－1＝0，
∴t1＋t2＝23，t1t2＝－1，
∴t1－t2＝t1＋t22－4t1t2＝4，
∴直线l被⊙C所截弦长为4.
10．()(2010•吉林省调研)已知曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线C2：x＝－35t＋2y＝45t(t为参数)．
(1)化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；
(2)若为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求N的最大值．
[解析] (1)曲线C1的方程化为ρ2＝2ρsinθ
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ
所以曲线C1的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，
因为曲线C2的参数方程是x＝－35t＋2y＝45t，消去参数t得曲线C2的普通方程4x＋3y－8＝0.
(2)在曲线C2的方程中，令y＝0得x＝2，
即点的坐标为(2,0)，
又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r＝1，
则C1＝5，
∴N≤C1＋r＝5＋1，N的最大值为5＋1.
(理)(2010•哈师大附中)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长．
[解析] 将方程x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)化为普通方程得，3x＋4y＋1＝0，
将方程ρ＝2cosθ＋π4化为普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圆心为12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d＝110，
弦长为2r2－d2＝212－1100＝75.
11.()(2011•广东理，14)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ<π)和x＝54t2y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．
[答案] 1，255
[解析] x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x25＋y2＝1(0≤y≤1)，
而x＝54t2y＝t化为普通方程为x＝54y2，
由x25＋y2＝10≤y≤1x＝54y2得x＝1y＝255，
即交点坐标为1，255.
(理)(2011•西安检测)已知直线l：x＝1－22ty＝1＋22t(t为参数)与圆C：x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)，它们的公共点个数为________个．
[答案] 2
[解析] 直线l的普通方程为x＋y－2＝0，⊙C的圆心(1,1)，半径r＝2，圆心C在直线l上，∴l与⊙C相交．
12．()(2011•咸阳模拟)若直线3x＋4y＋＝0与圆x＝1＋cosθy＝－2＋sinθ(θ为参数)没有公共点，则实数的取值范围是________．
[答案] (－∞，0)∪(10，＋∞)
[解析] 由条件知，圆心C(1，－2)到直线3x＋4y＋＝0的距离大于圆的半径1，
∴3－8＋5>1，∴<0或>10.
(理)已知直线l的参数方程：x＝2ty＝1＋4t(t为参数)，曲线C的极坐标方程：ρ＝22sinθ＋π4，求直线l被曲线C截得的弦长为________．
[答案] 2305
[分析] 可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解；也可将曲线C的方程化为直角坐标方程后，将l方程代入利用t的几何意义求解．
[解析] 将直线l的参数方程化为普通方程为y＝2x＋1，将圆C的极坐标方程化为普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，从圆方程中可知：圆心C(1,1)，半径r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝2×1－1＋122＋－12＝25<2＝r.所以直线l与圆C相交．
所以直线l被圆C截得的弦长为
2r2－d2＝22－45＝2305.
13．(2011•天津理，11)已知抛物线C的参数方程为x＝8t2，y＝8t，(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且 与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[答案] 2
[解析] 根据抛物线C的参数方程x＝8t2y＝8t，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝22＝2.
14．(2011•标全国，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)．是C1上的动点，P点满足OP→＝2O→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
[解析] (1)设P(x，y)，则由条件知(x2，y2)．由于点在C1上，所以
x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.
从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3＝23，
射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3＝43.
所以AB＝ρ2－ρ1＝23.
15．()(2011•大连市模拟)已知直线l经过点P(12，1)，倾斜角α＝π6，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．
(1)写出直线l的参数方程，并 把圆C的方程化为直角坐标方程；
(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
[解析] (1)直线l的参数方程为x＝12＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，(t为参数)，即x＝12＋32t，y＝1＋12t.(t为参数)．
由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cosθ＋sinθ，
所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得(x－12)2＋(y－12)2＝12.
(2)把x＝12＋32ty＝1＋12t代入(x－12)2＋(y－12)2＝12中
得t2＋12t－14＝0.
由根与系数的关系得t1t2＝－14，
由参数t的几何意义得：PA•PB＝t1t2＝14.
(理)(2010•南京调研)已知直线l的参数方程为x＝4－2ty＝t－2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
[解析] 直线l的参数方程为x＝4－2ty＝t－2(t为参数)故直线l的普通方程为x＋2y＝0
因为P为椭圆x24＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cosθ，sinθ)其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离是
d＝2cosθ＋2sinθ12＋22＝22sinθ＋π45
所以当θ＝kπ＋π4，k∈Z时，d取得最大值2105.
1．(2010•延边州质检)直线x＝1＋2ty＝1－2t(t为参数)被圆x＝3cosαy＝3sinα(α为参数)截得的弦长为( )
A．27 B.7
C．47 D．2
[答案] A
[解析] 将直线x＝1＋2ty＝1－2t化为普通方程得x＋y＝2，
将圆x＝3cosαy＝3sinα化为普通方程得x2＋y2＝9.
圆心O到直线的距离d＝0＋0－212＋12＝2，
所以弦长l＝2R2－d2＝27.
2．圆ρ＝2(cosθ－sinθ)的圆心的一个极坐标是( )
A.1，π4 B.1，7π4
C.2，π4 D.2，7π4
[答案] B
[解析] 圆方程化为x2＋y2＝2x－2y，
圆心22，－22，∴ρ＝1，tanθ＝－1，∴θ＝7π4，故选B.
3．将曲线y＝sin3x变为y＝2sinx的伸缩变换是( )
A.x＝3x′y＝12y′ B.x′＝3xy′＝12y
C.x＝3x′y＝2y′ D.x′＝3xy′＝2y
[答案] D
4．在极坐标系下，直线ρcosθ－π4＝2与曲线ρ＝2的公共点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．2或0
[ 答案] B
[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．
[解析] 方程ρcosθ－π4＝2化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
∴x＋y＝2，方程ρ＝2，即x2＋y2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.
5．已知点P(x，y)满 足(x－4cosθ)2＋(y－4sinθ)2＝4(θ∈R)，则点P(x，y)所在区域的面积为( )
A．36π B．32π
C．20π D．16π
[答案] B
[解析] 圆心坐标为(4cosθ，4sinθ)，显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆(x－4cosθ)2＋(y－4sinθ)2＝4(θ∈R)绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.
6．(2011•宝鸡质检)直线x＝2t＋1y＝t－1，(t为参数)过圆x2＋y2－2ax＋ay＋54a2－1＝0的圆心，则圆心坐标为________．
[答案] (32，－34)
[解析] 由题意知，圆心C(a，－a2)在直线
x＝2t＋1y＝t－1上，∴a＝2t＋1－a2＝t－1，解之得a＝32t＝14，
∴圆心C的坐标为(32，－34)．
7．(2011•广州)设点A的极坐标为(2，π6)，直线l过点A且与极轴所成的角为π3，则直线l的极坐标方程为________．
[答案] 填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcosθ－ρsinθ－2＝0、
ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一个均可
[解析] ∵点A的极坐标为(2，π6)，∴点A的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为π3，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)tanπ3，即3x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.
[点评] 一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标(方程)求解．如果直接用极坐标(方程)求解，通常是解一个斜三角形．
8．(2011•深圳调研)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4 上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则PQ的最小值是________．
[答案] 2－1
[解析] 直线l方程化为x＋y－4＝0，
⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，
即(x－2)2＋y2＝1.
圆心C(2,0)到直线l的距离d＝2＋0－42＝2，
∴PQin＝2－1.
9．(2010•新标全国)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)．
(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
[解析] (1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)．
(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，(α为参数)，
消去参数得P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116，
故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．