指数函数及其性质测试题（附答案）

1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2　　　　　　B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析：选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝(12)－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，
且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
2．若函数f(x)＝ax，x>14－a2x＋2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析：选D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知a>14－a2>04－a2＋2≤a，解得4≤a<8.
3．函数y＝(12)1－x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A.设t＝1－x，则y＝12t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝121－x的递增区间．
4．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．
解析：由函数的定义，得1＜2x＜2⇒0＜x＜1.所以应填(0,1)．
答案：(0,1)

1．设13<(13)b<(13)a<1，则(　　)
A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab
C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa
解析：选C.由已知条件得0<a<b<1，
∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.
2．若(12)2a＋1<(12)3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(12，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，12)
解析：选B.函数y＝(12)x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>12.
3．下列三个实数的大小关系正确的是(　　)
A．(12011)2＜212011＜1 B．(12011)2＜1＜212011
C．1＜(12011)2＜212011 D．1＜212011＜(12011)2
解析：选B.∵12011＜1，∴(12011)2＜1,212011＞20＝1.
4．设函数f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则(　　)
A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2)
C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2)
解析：选D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝12，f(x)＝2x，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
5．函数f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上(　　)
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析：选A.u＝2x＋1为R上的增函数且u＞0，
∴y＝1u在(0，＋∞)为减函数．
即f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．
6．若x＜0且ax＞bx＞1，则下列不等式成立的是(　　)
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：选B.取x＝－1，∴1a＞1b＞1，∴0＜a＜b＜1.
7．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析：法一：∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.
∴a＝12.
法二：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.
答案：12
8．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．
解析：x∈[－1,1]，则13≤3x≤3，即－53≤3x－2≤1.
答案：－53，1
9．若函数f(x)＝e－(x－u)2的最大值为，且f(x)是偶函数，则＋u＝________.
解析：∵f(－x)＝f(x)，
∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2，
∴(x＋u)2＝(x－u)2，
∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.
∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，
∴＝1，∴＋u＝1＋0＝1.
答案：1
10．讨论y＝(13)x2－2x的单调性．
解：函数y＝(13)x2－2x的定义域为R，
令u＝x2－2x，则y＝(13)u.列表如下：

u＝x2－2x
＝(x－1)2－1y＝(13)u
y＝(13)x2－2x

x∈(－∞，1]???
x∈(1，∞)???
由表可知，原函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
11．已知2x≤(14)x－3，求函数y＝(12)x的值域．
解：由2x≤(14)x－3，得2x≤2－2x＋6，
∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴(12)x≥(12)2＝14，
即y＝(12)x的值域为[14，＋∞)．
12．已知f(x)＝(12x－1＋12)x.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
解：(1)由2x－1≠0，得x≠0，
∴函数的定义域为{xx≠0，x∈R}．
(2)在定义域内任取x，则－x在定义域内，
f(－x)＝(12－x－1＋12)(－x)＝(2x1－2x＋12)(－x)
＝－1＋2x21－2x•x＝2x＋122x－1•x，
而f(x)＝(12x－1＋12)x＝2x＋122x－1•x，
∴f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(3)证明：当x<0时，由指数函数性质知，
0<2x<1，－1<2x－1<0，
∴12x－1<－1，
∴12x－1＋12<－12.
又x<0，∴f(x)＝(12x－1＋12)x>0.
由f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)>0.
综上，当x∈R，且x≠0时，函数f(x)>0.

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