巧构图妙解题

对于有些代数题采用常规处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看：
例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且。
求证：
证明：作和，使斜边，，（如图1）。

图1
由得：
又
所以
又
所以
即
例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？
解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB

图2
设AC＝x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB
设BD＝x＋4，表示乙的行驶速度，在AB上，取，表示甲在40分钟所行的路程，⊥AB，且＝x，连结与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是

由，得
解得：（舍去）
于是
即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
例3. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。

图3
解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁；当乙为x岁时，甲为岁；当乙为岁时，甲为61岁。
根据甲、乙的年龄差不变，可得

解得：
所以
答：甲现在42岁，乙现在23岁。
例4. 设a，b，c都是正实数，求证：
证明：时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设，这时要证的不等式转化为。

图4
作△ABC（如图4），CA＝CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得，由勾股定理得：

又
在△CBE中，
即
综上，命题得证。
例5. 设a，b，c，d均为正数，满足，且a为最大。求证：。
证明：不妨取线段，在AC上取一点B，使，则，以BC为直径作⊙O，如图5。

图5
设，作割线（或切线）交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足 初中学习方法。
因为
即
因为，所以
又

在中，AO＞AF
所以即有


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