逍遥学能 2013-03-16 08:58
2013届高三数学章末综合测试题（17）统计与统计案例、算法初步
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．条件结构不同于顺序结构的明显特征是含有( )
A．处理框 B．判断框
C．起止框 D．输入、输出框
解析 B 由条件结构与顺序结构定义可知，条 件结构有判断框，而顺序结构中无判断框．
2．给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数f(x)＝3x－1，x≤0，x2＋1，x>0的函数值．其中需要用条件结构描述算法的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 C 其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可．
3.若右面的流程图的作用是交换两个变量的值并输出，则(1)处应填上( )
A．x＝y B．y＝x
C．T＝y D．x＝T
解析 A 中间变量为T，将T＝x后，T就是x，则将x＝y后，x就变为y了．故选A.
4．对于算法：
第一步，输入n.
第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．
第四步，输出n.
满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．合数
解析 A 只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数，2是最小的质数．这个算法通过对2到n－1一一验证，看是否有其他约数，判断其是否为质数．
5．(2011•湖北八校联考)在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为( )
A．80 B．0.8
C．20 D．0.2
解析 C ∵在样本的频率分布直方图中，小长方形的面积＝频率，∴中间的一个小长方形所对应的频率是15，又∵频率＝频数样本容量，∴正中间一组的频数是15×100＝20.故选C.
6．已知程序框图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 B a＝1时进入循环，此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环，此时b＝24＝16.∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3，故选B.
7．下列程序框图是循环结构的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析 C 由循环结构的定义，易知③④是循环结构．
8．(2011•江西八校联考)在2011年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x99.51010.511
销售量y1110865
通过散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是y^＝－3.2x＋a，则a＝( )
A．－24 B．35.6
C．40.5 D．40
解析 D 由题意得到x＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，且回归直线必经过点(x，y)＝(10,8)，则有8＝－3.2×10＋a，a＝40，故选D.
9．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2<r1<0 B．0<r2<r1
C．r2<0<r1 D．r2＝r1
解析 C 对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0<r1.故选C.
10．阅读如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是( )
A．2 500,2 500 B．2 550,2 550
C．2 500,2 550 D．2 550,2 500
解析 D 由程序框图知，S＝100＋98＋96＋…＋2＝2 550，T＝99＋97＋95＋…＋1＝2 500，故选D.
11．(2011•西三市联考)某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( )
A．125 B．55
C．45 D．35
解析 C 由图可知，4次成绩分别为114,126,128,132,4次成绩的平均值是125，故该同学数学成绩的方差是s2＝14[(114－125)2＋(126－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2]＝14×(121＋1＋9＋49)＝45.
12．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给量
单价(元/千克)22.533.3 3.54
供给量(1 000 千克)506070758090
表2 市场需求量
单价(元/千克)43.53.22.82.42
需求量(1 000千克)506065707580
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在的区间是( )
A．(2.4,2.5) B．(2.5,2.8)
C．(2.8,3) D．(3,3.2)
解析 C 由表1、表2可知，当市场供给量为60～70时，市场单价为2.5～3，当市场需求量为65～70时，市场单价为2.8～3.2，∴市场供需平衡点应在(2.8,3)内，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图甲是计算图乙中空白部分面积的程序框图，则①处应填________．
解析 由题意可得：S＝14πa22－12×a2×a2×8＝π2－1a2，
故①处应填S＝π2－1a2.
【答案】 S＝π2－1a2
14．给出以下算法：
第一步：i＝3，S＝0；
第二步：i＝i＋2；
第三步：S＝S＋i；
第四步：如果S≥2 013，则执行第五步；否则执行第二步；
第五步：输出i；
第六步：结束．
则算法完成后，输出的i的值等于________．
解析 根据算法可知，i的值in构成一个等差数列{in}，S的值是数列{in}相应的前n项的和，且i1＝5，d＝2，又S≥2 013，所以n≥43，所以输出的i的值为i1＋(n－1)×d＝5＋(43－1)×2＝89.
【答案】 89
15．对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查后知，y与x具有相关关系，满足回归方程y＝0.66x＋1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．
解析 依题意得，当y＝7.675时， 有0.66x＋1.562＝7.675，x≈9.262.因此，可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.6759.262≈83%.
【答案】 83
16．如图所示的程序框图可用估计π的 值(假设函数RAND(－1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则运用此方法估计的π的近似值为________．
解析 本题转化为用几何概型求概率的问题．根据程序框图知，如果点在圆x2＋y2＝1内，就和1相加一次；现输入N为1 000，起始值为0，输出结果为788，说明相加了788次，也就是说有788个点在圆x2＋y2＝1内．设圆的面积为S1，正方形的面积为S2，则概率P＝S1S2＝π4，∴π＝4P＝4×7881 000＝3.152.
【答案】 3.152
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示的算法中，令a＝tan θ，b＝sin θ，c＝cos θ，若在集合θ－π4＜θ＜3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出 的结果是sin θ，求θ值所在的范围．
解析 由框图知，输出的a是a、b、c中最大的．由此可知，sin θ＞cos θ，sin θ＞tan θ.又θ在集合
θ－π4＜θ＜3π4，θ≠0，π4，π2中，∴θ值所在的范围为π2，3π4.
18．(12分)(2011•江西七校联考)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
解析 (1)设第i组的频率为fi(i＝1,2,3,4,5,6)，因为这六组的频率和等于1，故第四组的频率：
f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
频率分布直方图如图所示．
新标第一网]
(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的及格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：
45•f1＋55•f2＋65•f3＋75•f4＋85•f5＋95•f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．
19．(12 分)国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①若不超过200元，则不予优惠；
②若超过200元，但不超过500 元，则按所标的价格给予9折优惠；
③如果超过500元，500元的部分按②优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
设计一个收款的算法，并画出程序框图．
解析 依题意，付款总额y与标价x之间的关系式为(单位为元)：y＝xx≤200，0.9x200＜x≤500，0.9×500＋0.7×x－500x＞500.
算法：
第一步，输入x值．
第二步，判断，如果x≤200，则输出x，结束算法；否则执行第三步．
第三步，判断，如果x≤500成立，则计算y＝0.9x，并输出y，结束算法 ；否则执行第四步．
第四步，计算：y＝0.9×500＋0.7×(x－500)，并输出y，结 束算法．
程序框图：
20.(12分)如图所示的是为了解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框的内容及图框之间的关系，回答下列问题：
(1)该程序框图解决的是怎样的一个问题？
(2)当输入2时，输出的值为3，当输入－3时，输出的值为－2，求当输入5时，输出的值为多少？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，可使得输出的ax＋b结果等于0?
解析 (1)该程序框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)由已知得2a＋b＝3， ①－3a＋b＝－2， ②
由①②，得a＝1，b＝1.f(x)＝x＋1，
当x输入5时，输出的值为f(5)＝5＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大．
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，
因而当输入的x为－1时，
输出的函数值为0.
21．(12分)(2011•东北三校一模) 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成下列2×2列联表：
主食蔬菜主食肉类总计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)能否有99%的把握认为其 亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.
P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
解析 (1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
(2)2×2列联表如下：
主食蔬菜主食肉类总计
50岁以下4812
50岁以上16218
总计201030
(3)因为K2＝30×8－128212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
22．(12分)对任意函数f(x)，x∈D，可按如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f(x0)；
②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去．
现定义f(x)＝4x－2x＋1.
(1)输入x0＝4965，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值．
解析 (1)函数f(x)＝4x－2x＋1的定义域为
D＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∴输入x 0＝4965时，数列{xn}只有三项：
x1＝1119，x2＝15，x3＝－1.
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，
则f(x)＝4x－2x＋1＝x有解，
整理得，x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2.
x0＝1时，xn＋1＝4xn－2xn＋1＝xn，即xn＝1；
x0＝2时，xn＋1＝4xn－2xn＋1＝xn，即xn＝2.
∴x0＝1或x0＝2.