逍遥学能 2013-03-07 16:08
导数的概念及运算
一．复习目标：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．
二．知识要点：
1．导数的概念： ；
．
2．求导数的步骤是
．
3．导数的几何意义是 ．
三．前预习：
1．函数 的导数是 （ ）
2．已知函数 的解析式可 （ ）
3．曲线 上两点 ，若曲线上一点 处的切线恰好平行于弦 ，则点 的坐标为 （ ）
4．若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ ）
5．已知曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 ， ．
6．曲线 与 在交点处的切线的夹角是 ．
四．例题分析：
例1．（1）设函数 ，求 ；
（2）设函数 ，若 ，求 的值．
（3）设函数 ，求 ．
解：（1） ，∴
（2）∵ ，∴
由 得： ，解得： 或
（3）
例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 其中 为经历的时间， ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
（A）0～1s时间段内的速率为
（B）在1～1+△ts时间段内的速率为
（C）在1s末的速率为
（D）若△t＞0，则 是1～1+△ts时段的速率；
若△t＜0，则 是1+△ts～1时段的速率．
小结：本例旨在强化对导数意义的理解， 中的△t可正可负
例3．（1）曲线 ： 在 点处的切线为 在 点处的切线为 ，求曲线 的方程；
（2）求曲线 的过点 的切线方程．
解：（1）已知两点均在曲线C上. ∴
∵
∴ ， 可求出
∴曲线 ：
（2）设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为：
，∵过点 ，∴
解得： 或 ，当 时，切点为 ，切线方程为：
当 时，切点为 ，切线方程为：
例4．设函数 (1)证明：当 且 时， ；
(2)点 （0<x0<1）在曲线 上，求曲线上在点 处的切线与 轴， 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用 表示）
解：（1）∵ ，∴ ，两边平方得：
即： ，∵ ，∴ ，∴
∴
（2）当 时， ，
曲线 在点 处的切线方程为： ，即：
∴切线与与 轴， 轴正向的交点为
∴所求三角形的面积为
例5．求函数 图象上的点到直线 的距离的最小值及相应点的坐标.
解：首先由 得 知，两曲线无交点.
，要与已知直线平行，须 ，
故切点：（0 , －2）. .
五．后作业： 班级 学号 姓名
1．曲线 在点 处的切线方程为（）
2．已知质点运动的方程为 ，则该质点在 时的瞬时速度为 （ ）
120 80 50
3．设点 是曲线 上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 （ ）
4．若 ，则
5．设函数 的导数为 ，且 ，则
已知曲线
（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）求过点 并与曲线 相切的直线方程．
7.设曲线 ： ， 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为
求证：曲线 关于 点中心对称.
8.已知函数 . 若 ，且 ， ，求 ．
9..曲线 上有一点 ，它的坐标均为整数，且过 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
10.已知函数 的图像过点 .过 点的切线与图象仅 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求 的解析式.