逍遥学能 2013-03-03 17:23
2013年高考数学总复习 8-2 圆的方程但因为测试 新人教B版
1.()(2011•四川，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
[答案] D
[解析] 将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
∴圆心坐标为(2，－3)．
(理)(2011•深圳调研)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 将⊙C化为标准方程得，
(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
∴圆心C(－a,2a)，半径r＝2，
由条件知，－a>2，2a>2，－a<0，2a>0，∴a>2.
2．()(2011•广东，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.
(理)(2011•广州模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋32)2＋y2＝12
[答案] C
[解析] 设中点(x，y)，则点A(2x－3,2y)，
∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
3．()(2011•广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
[答案] A
[解析] 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
0－12＋b－22＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(理)(2011•济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
[答案] A
[解析] 设圆心为C(,0)(>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以3＋4×0＋432＋42＝2，整理得：
3＋4＝10，解得＝2或＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.
4．()(2011•青岛市教学质量统一检测)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋2
C．2＋22 D．1＋22
[答案] B
[解析] 圆的方程化为标准形式：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝1－1－22＝2，
所求距离的最大值为2＋1，故选B.
(理)(2011•华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2＋y2 －2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝( )
A.125 B. 245
C.65 D．5
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝125，∴a＋b＝125＋r＋125－r＝245(r为圆的半径)．
5．(2011•江南十校联考)若点 P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦N的中点，则弦N所在直线方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
[答案] D
[解析] 圆心C(3,0)，kCP＝－12，由kCP•kN＝－1，得kN＝2，所以N所在直线方程是2x－y－1＝0，故选D.
6．()(2011•日照模拟、河南省濮阳调研)圆心在曲线y＝3x(x>0 )上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝(185)2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝(165)2
C．(x－2)2＋(y－32)2＝9
D．(x－3)2＋(y－3)2＝9
[答案] C
[解析] 设圆心坐标为(a，3a)(a>0)，
则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝3a＋12a＋35＝35(a＋4a＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．
此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为
(x－2)2＋(y－32)2＝9.
(理)(2011•西安模拟)若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( )
A．1 B．5
C．42 D．3＋22
[答案] D
[解析] 由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝ 0上，∴a＋b＝1，
∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)
＝3＋ba＋2ab≥3＋22，
等号在ba＝2ab，即b＝2－2，a＝2－1时成立．
7．(2011•西安二检)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
[答案] 254
[解析] ∵点A(1,2)在⊙O：x2＋y2＝5上，
∴过A的切线方程为x＋2y＝5，
令x＝0得，y＝52，令y＝0得，x＝5，
∴三角形面积为S＝12×52×5＝254.
8．(2011•南京模拟)已知点(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点的最短弦所在直线的方程是________．
[答案] x＋y－1＝0
[解析] 过点的最短的弦与C垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，
∵kC＝1－02－1＝1，∴最短 弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
9．()(2010•广东)已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
[答案] (x＋2) 2＋y2＝2
[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a<0)，由条件得2＝a2，∴a＝2，又a<0，∴a＝－2.
(理)(2011•长春市调研)若圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________．
[答案] (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，根据题意可得
a＋2b＝0，2－a2＋3－b2＝r2，r2－a－b＋122＝2.
解得a＝6，b＝－3，r2＝52.或a＝14，b＝－7，r2＝244.
所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
10．()(2010•广东华南师大附中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解析] (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
－k＋2k2＋1＝1，∴k＝34.
∴直线方程为x＝3或y＝34x＋114.
(2)AO＝9＋25＝34，
直线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝134，
S＝12•d•AO＝12.
(理)(2011•兰州一诊)已知圆过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0上．
(1)求圆的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B为切点，求四边形PAB面积的最小值．
[解析] (1)设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意，得1－a2＋－1－b2＝r2－1－a2＋1－b2＝r2a＋b－2＝0，
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAB的面积
S＝S△PA＋S△PB
＝12A•PA＋12B• PB，
又A＝B＝2，PA＝PB，
所以S＝2PA，
而PA＝P2－A2＝P2－4，
即S＝2P2－4.
因此要求S的最小值，只需求P的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，
使得P的值最小，
所以Pin＝3×1＋4×1＋832＋42＝3，
所以四边形PAB面积的最小值为
S＝2P2－4＝232－4＝25.
11.(2011•西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面 积为( )
A．106 B．206
C．306 D．406
[答案] B
[解析] 圆的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，
∴半径r＝5，
圆心到最短弦BD的距离d＝1，
∴最短弦长BD＝46，
又最长弦长AC＝2r＝10，
∴四边形的面积S＝12×A C×BD＝206.
12．(2011•成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线x216－y29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( )
A．x2＋y2－20x＋64＝0
B．x2＋y2－20x＋36＝0
C．x2＋y2－10x＋16＝0
D．x2＋y2－10x＋9＝0
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，
点(5,0)到直线3x±4y＝0的距离d＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，
即x2＋y2－10x＋16＝0，故选C.
13．(2010•浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆恰好经过点C(1，－1)，则圆心的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析] ∵是以AB为直径的圆的圆心，AB＝6，
∴半径为3，
又⊙经过点C，∴C＝12AB＝3，
∴点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
14．()(2010•天津，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
[解析] 在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，
由点到直线的距离公式得圆的半径
R＝－1＋0＋32＝2，
∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.
(理)(2010•金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，AB＝3，则该圆的标准方程是________．
[答案] (x－1)2＋y－122＝1
[解析] 如下图设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝AC2－AD2＝12－322＝12，即b＝12，∴圆方程为(x－1)2＋y－122＝1.
15．()(2011•青岛模拟)已知以点Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点、N，若O＝ON，求圆C的方程．
[解析] (1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋4t2.
设圆C的方程是(x－t)2＋y－2t2＝t2＋4t2，
令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝12OA•OB＝12×4t×2t＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵O＝ON，C＝CN，
∴OC垂直平分线段N.
∵kN＝－2，∴kOC＝12.
∴直线OC的方程是y＝12x.
∴2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝15<5，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(理)(2011•北京模拟)已知点A(－3,0)，B(3,0)．动点P满足PA＝2PB.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只 有一个公共点，求Q的最小值．
[解析] (1)设P(x，y)，∵PA＝2PB，
∴(x＋3)2＋y2＝4[(x－3)2＋y2]
整理得(x－5)2＋y2＝16.
(2)由条件知Q与圆C相切，
则问题转化为在直线l1上求一点Q，过点Q作⊙C的切线，求切线长的最小值．
由于⊙C的半径为定值4，欲使切线长最小，只须QC最小，而点C(5,0)为定点，因此，当CQ⊥l1时取得最小值，∵C到l1的距离d＝42，
∴Qin＝d2－42＝4.
1．双曲线x2a2－y2b2＝1( a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．P在⊙C内 B．P在⊙C上
C．P在⊙C外 D．无法确定
[答案] C
[解析] 由条件得，ba＝tan60°2a＋3b－a＋1＝0，
解之得a＝－14b＝－34，
∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴点P在⊙C外．
2．(2011•临沂模拟)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A．(－∞，14] B．(0，14]
C．(－14，0) D．(－∞，14)
[答案] A
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤(a＋b2)2＝14.
3．(2010•延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )
A．1 B.45
C.25 D．2
[答案] A
[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴din＝2－1＝1.
4．(2011•东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案] A
[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.
5．一条线段AB长为2，两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．圆 D．半圆
[答案] C
[解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB的中点到原点的距离总等于1，
∴AB的中点轨迹是圆，故选C.
6．(2011•浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．
[答案] 1
[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab≤6，
∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．
[点评] 作出如下图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.
7．(2010•瑞安中学)已知圆x2＋y2＝r2在曲线x＋y＝4的内部(含边界)，则半径r的范围是________．
[答案] (0,22]
[解析] 如下图，曲线C：x＋y ＝4为正方形ABCD，
∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)
∴0<r≤O＝22.